如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C做匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C做匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A做匀速运动，过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N、P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当Q点运动到A点时，P、Q两点同时停止运动，设点Q运动的时间为t秒。
（1）求NC、MC的长（用含t的代数式表示）；
（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？
（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（4）探究：t为何值时，△PMC为等腰三角形？

答案

解：（1）在直角梯形ABCD中，
∵QN⊥AD，∠ABC=90°，
∴四边形ABNQ是矩形，
∵QD=t，AD=3，
∴BN=AQ=3-t，
∴NC=BC-BN=4-（3-t）=t+1，
∵AB=3，BC=4，∠ABC=90°，
∴AC=5，
∵AB∥QN，
∴MN∥AB，
∴
即，
∴； （2）当QD=CP时，四边形PCDQ构成平行四边形，
∴当t=4-t，即t=2时，四边形PCDQ构成平行四边形；（3）∵MN∥AB，
∴△MNC∽△ABC，
要使射线QN将△ABC的面积平分，则△MNC与△ABC的面积比为1：2，即相似比为，
∴
即，
∴，
∴，
∴
∵△ABC的周长的一半，
∴不存在某一时刻，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分； （4）分3种情况： ①如图（1），
当PM=MC时，△PMC为等腰三角形，
则PN=NC，即3-t-t=t+1，
∴，
即时，△PMC为等腰三角形；
②如图（2），当CM=PC时，△PMC为等腰三角形，
即，解得
∴时，△PMC为等腰三角形；
③如图（3），当PM=PC时，△PMC为等腰三角形，
∵PC=4-t，NC=t+1，
∴PN=2t-3，
又∵，
∴，
由勾股定理可得，
解得，t₂=-1（舍去），
即当时，△PMC为等腰三角形，
综上所述，当t=，，时，△PMC为等腰三角形。