(1)证明:连接OB. ∵BC∥OP, ∴∠BCO=∠POA,∠CBO=∠POB, ∴∠POA=∠POB,(1分) 又∵PO=PO,OB=OA, ∴△POB≌△POA. (3分) ∴∠PBO=∠PAO=90°. ∴PB是⊙O的切线. (4分)
(2)2PO=3BC.(写PO=BC亦可) 证明:∵△POB≌△POA,∴PB=PA. (5分) ∵BD=2PA,∴BD=2PB. ∵BC∥PO,∴△DBC∽△DPO. (6分) ∴==, ∴2PO=3BC. (7分)
(3)∵CB∥OP, ∴△DBC∽△DPO, ∴==, 即DC=OD. ∴OC=OD, ∴DC=2OC. (8分) 设OA=x,PA=y.则OD=3x,OB=x,BD=2y. 在Rt△OBD中,由勾股定理得(3x)2=x2+(2y)2,即2x2=y2. ∵x>0,y>0, ∴y=x,OP==x. (9分) ∴sin∠OPA====. (10分) |