如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图1，矩形MNPQ中，点E，F，G，H分别在NP，PQ，QM，MN上，若，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．图2，图3，图4中，四边形ABCD为矩形，且，．理解与作图：
（1）在图2，图3中，点E，F分别在BC，CD边上，试利用正方形网格在图上作出矩形ABCD的反射四边形EFGH．计算与猜想：
（2）求图2，图3中反射四边形EFGH的周长，并猜想矩形ABCD的反射四边形的周长是否为定值？启发与证明：
（3）如图4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长GF交BC的延长线于M，试利用小华同学给我们的启发证明（2）中的猜想．

答案

解：（1）作图如下：

（2）在图2中，，
∴四边形EFGH的周长为．
在图3中，，．
∴四边形EFGH的周长为．
猜想：矩形ABCD的反射四边形的周长为定值．
（3）证法一：延长GH交CB的延长线于点N．∵，，∴．而，∴Rt△FCE≌Rt△FCM．∴，．
同理：，．∴．
∵，，∴．    ∴．
过点G作GK⊥BC于K，则．
∴．∴四边形EFGH的周长为．
证法二：∵，，    ∴．而，   
 ∴Rt△FCE≌Rt△FCM．∴，．
∵，，而，  
∴．∴HE∥GF．    同理：GH∥EF．
∴四边形EFGH是平行四边形．
∴．     而，∴Rt△FDG≌Rt△HBE．  
   ∴．8分过点G作GK⊥BC于K，则．
∴．
∴四边形EFGH的周长为．