已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O。（1）如图1，连接AF、CE，求AF的长；（2）如图

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已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O。
（1）如图1，连接AF、CE，求AF的长；
（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，
①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值。
②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，ab≠0），已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式。

答案

解：（1），则
在中，
由勾股定理得，
解得
∴。
（2）①显然当点P在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形
同理点P在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒
∴，
∴
解得
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，秒。
②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上
分三种情况：i）如图1，当P点在AF上、Q点在CE上时，，即，得；ii）如图2，当P点在BF上、Q点在DE上时，， 即，得 iii）如图3，当P点在AB上、Q点在CD上时，，即，得。
综上所述，a与b满足的数量关系式是。