定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交A

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定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC²=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．
如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．

答案

（1）∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD=36°，∠BDC=72°，
∴AD=BD，BC=BD，
∴△ABC∽△BDC，
∴

，即

，
∴AD²=AC•CD．
∴点D是线段AC的黄金分割点．

（2）∵点D是线段AC的黄金分割点，
∴AD=

-1

AC，
∵AC=1，
∴AD=

-1

．

举一反三

已知线段AB=4dm，点C是线段AB上一点，AC＞BC，若C点是线段AB的黄金分割点，则AC=______dm．（保留根号）

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我们知道，将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB，若小段PB与大段AP的长度之比等于大段AP与全段AB的长度之比，此时线段AP叫做线段AB、PB的比例中项，这种分割叫做黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点．
那么，一条线段的黄金分割点的个数是______；
如图，已知线段AB，要求利用尺规作图的方法，在图中作出线段AB的一个黄金分割点，并简要说明作法（不要求证明）______．

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如图所示，E为平行四边形ABCD的边AD延长线上一点，且D为AE的黄金分割点，即AD=

-1

AE，BE交DC于点F，已知AB=

+1，则CF=______．

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如图，C为AB的黄金分割点（AC＞BC），若AB的长为10，则AC的长为______．

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（1）如图，若点C是AB的黄金分割点，AB=1，则AC=______，BC=______．
（2）一条线段的黄金分割点有______个．

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