定义:如图1,点C在线段AB上,若满足AC2=BC•AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.如图2,△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°,BD平分∠ABC交A

定义:如图1,点C在线段AB上,若满足AC2=BC•AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.如图2,△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°,BD平分∠ABC交A

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定义:如图1,点C在线段AB上,若满足AC2=BC•AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.
如图2,△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.
(1)求证:点D是线段AC的黄金分割点;
(2)求出线段AD的长.
答案
(1)∵∠A=36°,AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB=72°,
∵BD平分∠ABC,
∴∠CBD=∠ABD=36°,∠BDC=72°,
∴AD=BD,BC=BD,
∴△ABC△BDC,
BD
AB
=
CD
BC
,即
AD
AC
=
CD
AD

∴AD2=AC•CD.
∴点D是线段AC的黄金分割点.

(2)∵点D是线段AC的黄金分割点,
∴AD=


5
-1
2
AC,
∵AC=1,
∴AD=


5
-1
2
举一反三
已知线段AB=4dm,点C是线段AB上一点,AC>BC,若C点是线段AB的黄金分割点,则AC=______dm.(保留根号)
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我们知道,将一条线段AB分割成大小两条线段AP、PB,若小段PB与大段AP的长度之比等于大段AP与全段AB的长度之比,此时线段AP叫做线段AB、PB的比例中项,这种分割叫做黄金分割,点P叫做线段AB的黄金分割点.
那么,一条线段的黄金分割点的个数是______;
如图,已知线段AB,要求利用尺规作图的方法,在图中作出线段AB的一个黄金分割点,并简要说明作法(不要求证明)______.
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如图所示,E为平行四边形ABCD的边AD延长线上一点,且D为AE的黄金分割点,即AD=


5
-1
2
AE,BE交DC于点F,已知AB=


5
+1,则CF=______.
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如图,C为AB的黄金分割点(AC>BC),若AB的长为10,则AC的长为______.
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(1)如图,若点C是AB的黄金分割点,AB=1,则AC=______,BC=______.
(2)一条线段的黄金分割点有______个.
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