如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点。某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”

题型：江苏省期中题难度：来源：

如图1，点C将线段AB分成两部分，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点。某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S₁，S₂，如果，那么称直线为该图形的黄金分割线。

（1）研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是△ABC的黄金分割线．你认为对吗？为什么？
（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
（3）研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF∥CE，交AC于点F，连接EF（如图3），则直线EF也是△ABC的黄金分割线，请你说明理由。
（4）如图4，点E是平行四边形ABCD的边的黄金分割点，过点E作EF∥AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线，请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点。

答案

解：（1）直线CD是△ABC的黄金分割线。理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h，

所以，，，
又因为点D为边AB的黄金分割点，所以有
∴，
∴直线CD是△ABC的黄金分割线。
（2）因为三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，此时，即，所以三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线。
（3）因为DF∥CE，所以△DEC和△FCE 的公共边CE上的高也相等，
所以有
设直线EF与CD交于点G，
所以
所以，

∵，
∴，
∴直线EF也是△ABC的黄金分割线。
（4）画法不惟一，现提供两种画法；
画法一：如图1，取EF的中点G，再过点G作一条直线分别交AB，DC于M，N点，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线。
画法二：如图2，在DF上取一点N，连接EN，再过点F作FM∥NE交AB于点M，连接MN，则直线MN就平行四边形ABCD的黄金分割线。