在直角三角形ABC中,,是斜边AB的中点,过作于,连结交于；过作于,连结交于；过作于,…,如此继续,可以依次得到点,…,,分别记,,,…,的面积为,,,…,则.

题型：不详难度：来源：

在直角三角形ABC中,,是斜边AB的中点,过作于,连结交于；过作于,连结交于；过作于,…,如此继续,可以依次得到点,…,,分别记,,,…,的面积为,,,…,则.

 

答案

S_△ABC．

解析

试题分析：由于,是斜边AB的中点, ,易知D₁E₁∥BC,
∴△BD₁E₁与△CD₁E₁同底同高,面积相等,以此类推；
∴S₁=S_△D1E1A=S_△ABC,
根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D₁E₁=BC,CE₁=AC,S₁=S_△ABC；
∴在△ACB中,D₂为其重心,
又D₁E₁为三角形的中位线,∴D₁E₁∥BC,
∴△D₂D₁E₁∽△CD₂B,且相似比为1：2,
即=,
∴D₂E₁=BE₁,
∴D₂E₂=BC,CE₂=AC,S₂=S_△ABC,
∴D₃E₃=BC,CE₃=AC,S₃=S_△ABC…；
∴S_n=S_△ABC．
故答案是S_△ABC．