如图所示,在Rt△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=90°,点P是△ABC的外角∠BCN的角平分线上一个动点,点P′是点P关于直线BC的对称点,连结PP′交B
题型:不详难度:来源:
如图所示,在Rt△ABC中,AB=BC=4,∠ABC=90°,点P是△ABC的外角∠BCN的角平分线上一个动点,点P′是点P关于直线BC的对称点,连结PP′交BC于点M,BP′交AC于D,连结BP、AP′、CP′.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191102/20191102214118-17017.png) (1)若四边形BPCP′为菱形,求BM的长; (2)若△BMP′∽△ABC,求BM的长; (3)若△ABD为等腰三角形,求△ABD的面积. |
答案
解:(1)∵四边形BPCP′为菱形,而菱形的对角线互相垂直平分, ∴点M为BC的中点,∴BM= BC= ×4=2。 (2)∵△ABC为等腰直角三角形,若△BMP′∽△ABC, ∴△BMP′必为等腰直角三角形,BM=MP′。 由对称轴可知,MP=MP′,PP′⊥BC,则△BMP为等腰直角三角形, ∴△BPP′为等腰直角三角形,BP′=BP。 ∵∠CBP=45°,∠BCP= (180°﹣45°)=67.5°, ∴∠BPC=180°﹣∠CBP﹣∠BCP=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°。 ∴∠BPC=∠BCP。∴BP=BC=4。∴BP′=4。 在等腰直角三角形BMP′中,斜边BP′=4,∴BM= BP′= 。 (3)△ABD为等腰三角形,有3种情形: ①若AD=BD,如题图②所示,此时△ABD为等腰直角三角形,斜边AB=4, ∴ 。 ②若AD=AB,如答图①所示, 过点D作DE⊥AB于点E,则△ADE为等腰直角三角形,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191102/20191102214119-37844.jpg) ∴DE= AD= AB= 。 ∴ , ③若AB=BD,则点D与点C重合,可知此时点P、点P′、点M均与点C重合, ∴ 。 |
解析
(1)由菱形的性质可知,点M为BC的中点,所以BM可求。 (2)△ABC为等腰直角三角形,若△BMP′∽△ABC,则△BMP′必为等腰直角三角形.证明△BMP′、△BMP、△BPP′均为等腰直角三角形,则BP=BP′;证明△BCP为等腰三角形,BP=BC,从而BP′=BC=4,进而求出BM的长度。 (3)△ABD为等腰三角形,有3种情形,分类讨论计算。 |
举一反三
如图,在▱ABCD中,E是AD边上的中点,连接BE,并延长BE交CD延长线于点F,则△EDF与△BCF的周长之比是【 】
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如图,已知AB⊥BD,CD⊥BD
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191102/20191102214106-52368.png) (1)若AB=9,CD=4,BD=10,请问在BD上是否存在P点,使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似?若存在,求BP的长;若不存在,请说明理由; (2)若AB=9,CD=4,BD=12,请问在BD上存在多少个P点,使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似?并求BP的长; (3)若AB=9,CD=4,BD=15,请问在BD上存在多少个P点,使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似?并求BP的长; (4)若AB=m,CD=n,BD=l,请问m,n,l满足什么关系时,存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点?两个P点?三个P点? |
同一时刻,物体的高与影子的长成比例,某一时刻,高1.6m的人影长啊1.2m,一电线杆影长为9m,则电线杆的高为 m. |
请在图中补全坐标系及缺失的部分,并在横线上写恰当的内容。图中各点坐标如下:A(1,0),B(6,0),C(1,3),D(6,2)。线段AB上有一点M,使△ACM∽△BDM,且相似比不等于1。求出点M的坐标并证明你的结论。
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191102/20191102214058-46976.png) 解:M( , ) 证明:∵CA⊥AB,DB⊥AB,∴∠CAM=∠DBM= 度。 ∵CA=AM=3,DB=BM=2,∴∠ACM=∠AMC( ),∠BDM=∠BMD(同理), ∴∠ACM= (180°- ) =45°。 ∠BDM=45°(同理)。 ∴∠ACM=∠BDM。 在△ACM与△BDM中, , ∴△ACM∽△BDM(如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似)。 |
如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E是BC上的一个动点,连接DE,交AC于点F.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191102/20191102214050-84971.png) (1)如图①,当 时,求 的值; (2)如图②当DE平分∠CDB时,求证:AF= OA; (3)如图③,当点E是BC的中点时,过点F作FG⊥BC于点G,求证:CG= BG. |
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