如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．（1）求证：；（2）设EF

题型：不详难度：来源：

如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．

（1）求证：；
（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；
（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．

答案

解：（1）证明：∵矩形EFPQ，∴EF∥BC。
∴△AHF∽△ADC，∴。
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴.
∴。
（2）∵∠B=45°，∴BD=AD=4，∴CD=BC﹣BD=5﹣4=1。
∵EF∥BC，∴△AEH∽△ABD，∴。
∵EF∥BC，∴△AFH∽△ACD，∴。
∴，即，∴EH=4HF。
已知EF=x，则EH=。
∵∠B=45°，∴EQ=BQ=BD﹣QD=BD﹣EH=4﹣。
，
∴当x=时，矩形EFPQ的面积最大，最大面积为5。
（3）由（2）可知，当矩形EFPQ的面积最大时，矩形的长为，宽为。
在矩形EFPQ沿射线AD的运动过程中：
（I）当0≤t≤2时，如答图①所示，

设矩形与AB、AC分别交于点K、N，与AD分别交于点H₁，D₁，此时DD₁=t，H₁D₁=2，
∴HD₁=HD﹣DD₁=2﹣t，HH₁=H₁D₁﹣HD₁=t，AH₁=AH﹣HH₁=2﹣t。
∵KN∥EF，∴，即。
解得。
。
（II）当2＜t≤4时，如答图②所示，

设矩形与AB、AC分别交于点K、N，与AD交于点D₂．此时DD₂=t，AD₂=AD﹣DD₂=4﹣t。
∵KN∥EF，∴，即。
解得。
。
综上所述，S与t的函数关系式为：。

解析

（1）由相似三角形，列出比例关系式，即可证明。
（2）首先求出矩形EFPQ面积的表达式，然后利用二次函数求其最大面积。
（3）本问是运动型问题，弄清矩形EFPQ的运动过程：
当0≤t≤2时，如答图①所示，此时重叠部分是一个矩形和一个梯形；
当2＜t≤4时，如答图②所示，此时重叠部分是一个三角形。