试题分析:(1)如图1所示:过点P作PI⊥BC于点I, ∵PB=PC, ∴PI∥BE∥CF, ∴PI是梯形BCFE的中位线, ∴PI=(BE+CF), ∵△PBC是等腰直角三角形, ∴PI=AB=CI, ∴S△PBE+S△PCF=BE•BI+CF•CI=BE×BC+CF•BC=BC(BE+CF)=BC•PI=S△PBC; 故答案为:S△PBE+S△PCF=S△BPC; (2)如图2,过点P作PG⊥EF交BC于点G,∠EPG=90°, ∵∠BPC=90°, ∴∠EPB+∠BPG=90°, ∵∠BPG+∠CPG=90°, ∴∠EPB=∠CPG, 同理,∵∠EBP+∠PBC=90°,∠PBC+∠BCP=90°, ∴∠EBP=∠BCP, ∴△EPB∽△GPC, ∵PC=2PB, ∴=()2= ∴S△GPC=4S△EPB, 同理可得S△FPC=4S△GPB, ∵S△PBG+S△PGC=S△BPC, ∴16S△PBE+S△PFC=4S△BPC; (3)如图3,设正方形的边长为a(a>0), ∵∠BPC=90°,PC=2PB,S△BPC=80, ∴••=80,解得a=20, 由(2)知,△EPB∽△GPC, ∴CG=2BE=12, ∴BG=8, ∴CF=16,DF=4, 过点P作PM∥AB交BC于点M.交AD于点H,过点P作PT⊥CD于T, ∵PM⊥BC,BC=20,S△BPC=80, ∴PM=8, ∴PH=12,PT=16,FT=8, ∵∠PQF=90°, ∴由勾股定理得,(HQ2+HP2)+(DQ2+DF2)=PT2+TF2,即(16﹣DQ)2+122+(DQ2+42)=162+82,解得DQ=4或DQ=12, 当DQ=4时, ∵DQ=DF=4,∠PQF=90°,DN为∠QDF的角平分线, ∴DN=QD=2; 当DQ=12时,过点N作NN1⊥QD于N1, ∵∠QOF=90°,DN为∠QDF的角平分线, ∴∠QDN=45°, ∵NN1⊥AD, ∴NN1=N1D,△QDF∽△QN1N, ∴=,=,解得NN1=3, ∴DN===3, 综上所述,DN=2或3.
点评:本题考查的是相似形的综合题,涉及到相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理,解答此题的关键是作出辅助线,构造出相似三角形,再利用相似三角形的性质进行解答. |