已知：如图，正方形ABCD的边长是1，P是CD的中点，点Q是线段BC上一动点，当BQ为何值时，以A、D、P为顶点的三角形与以Q、C、P为顶点的三角形相似．

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答案

BQ的长度是0或

时，以A、D、P为顶点的三角形与以Q、C、P为顶点的三角形相似

解析

试题分析：∵正方形ABCD的边长是1，P是CD的中点，
∴PD=PC=

，
①当DP与PC是对应边时，

，
即

，
解得CQ=1，
∴BQ=BC﹣CQ=1﹣1=0；
②当DP与CQ是对应边时，

，
即

，
解得CQ=

，
∴BQ=BC﹣CQ=1﹣

，
综上所述，BQ的长度是0或

时，以A、D、P为顶点的三角形与以Q、C、P为顶点的三角形相似．
点评：本题考查了正方形的四条边都相等的性质，相似三角形的对应边成比例的性质，因为对应边不明确，所以要分情况讨论求解，避免漏解而导致出错．

举一反三

如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，经几秒钟△PBQ与△ABC相似？试说明理由．

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已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k．
（1）如果CD和C′D′是它们的对应高，那么

等于多少？
（2）如果CD和C′D′是它们的对应角平分线，那么

等于多少？如果CD和C′D′是它们的对应中线呢？

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△ABC∽△A′B′C′，

，AB边上的中线CD=4cm，△ABC的周长为20cm，△A′B′C′的面积是64cm²，求：
（1）A′B′边上的中线C′D′的长；
（2）△A′B′C′的周长；
（3）△ABC的面积．

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如图，直角三角形ABC到直角三角形DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3：2．
（1）DE与AB的长度之比是多少？
（2）已知直角三角形ABC的周长是12cm，面积是6cm²，求直角三角形DEF的周长与面积．

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如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始以1cm/s的速度沿AB边向点B运动，点Q从点B以2cm/s的速度沿BC边向点C运动，如果P、Q同时出发，设运动时间为ts，
（1）当t=2时，求△PBQ的面积；
（2）当t=

时，试说明△DPQ是直角三角形；
（3）当运动3s时，P点停止运动，Q点以原速立即向B点返回，在返回的过程中，DP是否能平分∠ADQ？若能，求出点Q运动的时间；若不能，请说明理由．

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