解:(1)证明:如图①,∵ BD⊥AC,∠ABC=90°,∠ADB=∠ABC, 又∵∠A=∠A,∴△ADB∽△ABC 。 ∴,∴ AB2=AD·AC。 (2)如图②,过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G。
∵ BE⊥AD,∴∠CGD=∠BED=90°,CG∥BF。 又∵, ∴AB=BC=2BD=2DC,BD=DC。 又∵∠BDE=∠CDG,∴△BDE≌△CDG(AAS)。 ∴ED=GD=。 由(1)可得:AB2=AE·AD,BD2=DE·AD, ∴。∴ AE=4DE。∴。 又∵CG∥BF,∴。 (3) ①当点D在BC边上时,的值为n2+n; ②当点D在BC延长线上时,的值为n2-n; ③当点D在CB延长线上时,的值为n-n2。 (1)由证△ADB∽△ABC即可得到结论。 (2)过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G,由已知用AAS证△BDE≌△CDG,得到EF是△ACG的中位线,应用(1)的结论即可。 (3)分点D在BC边上、点D在BC延长线上和点D在CB延长线上三种情况讨论: ①当点D在BC边上时,如图3,过点C作CG⊥AD交AD的延长线于点G。
∵ BE⊥AD,∴∠CGD=∠BED=90°,CG∥BF。 ∴△BDE∽△CDG。∴。 又∵,∴ ∴AB=nBC,BD=nDC,ED=nGD。 ∴BC=(n+1)DC,EG=ED。 由(1)可得:AB2=AE·AD,BD2=DE·AD, ∴。∴ AE= DE。 ∴。 又∵CG∥BF,∴。 ②当点D在BC延长线上时,如图4,过点C作CH⊥AD交AD于点H。
∵ BE⊥AD,∴∠CHD=∠BED=90°,CH∥BF。 ∴△BDE∽△CDH。∴ 又∵,∴ ∴AB=nBC,BD=nDC,ED=nHD。 ∴BC=(n-1)DC,EH=ED。 由(1)可得:AB2=AE·AD,BD2=DE·AD, ∴。∴ AE= DE。 ∴。 又∵CH∥BF,∴。 ③当点D在CB延长线上时,如图5,过点C作CI⊥AD交DA的延长线于点I。
∵ BE⊥AD,∴∠CID=∠BED=90°,CI∥BF。 ∴△BDE∽△CDI。∴ 又∵,∴ ∴AB=nBC,BD=nDC,ED=nID。 ∴BC=(1-n)DC,EI=ED。 由(1)可得:AB2=AE·AD,BD2=DE·AD, ∴。∴ AE= DE。 ∴。 又∵CI∥BF,∴。 |