如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OEFG的顶点F坐标为(4,2),OG边与y轴重合。将矩形OEFG绕点O逆时针旋转,使点F落在y轴的点N处,得到矩形OMNP

如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OEFG的顶点F坐标为(4,2),OG边与y轴重合。将矩形OEFG绕点O逆时针旋转,使点F落在y轴的点N处,得到矩形OMNP

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如图,在平面直角坐标系xOy中,矩形OEFG的顶点F坐标为(4,2),OG边与y轴重合。将矩形OEFG绕点O逆时针旋转,使点F落在y轴的点N处,得到矩形OMNP,OM
与GF交于点A.
小题1:判断△OGA和△NPO是否相似,并说明理由;
小题2:求过点A的反比例函数解析式;
小题3:若(2)中求出的反比例函数的图象与EF交于B点, 请探索:直线AB与OM的位置关系,并说明理由.
小题4:在GF所在直线上,是否存在一点Q,使△AOQ为等腰三角形.若存在,请直接写出          
所有满足要求的Q点坐标.
答案

小题1:∵∠OGA=∠M=90°,
∠GOA=∠MON
∴△OGA∽△OMN;
小题2:∵AG:OP=OG:NP,∵OP=OG=2、PN=OM=OE=4,
∴AG=1
∴A(1,2)                             ………………3分

小题3:AB⊥ OM                               ………………5分
代入得 B(4,),                      ………………6
∵AG:BF=OG:AF=2:3,∠AGO=∠BFA=900
△OGA∽△AFB                             ………………7分
∴∠AOG=∠BAF  ∵∠AOG+∠OAG=900
∴∠BAF+∠OAG=900
∴ ∠OAB=900                             
∴AB⊥OM                                 ………………8分
(其它方法酌情给分)
小题4:Q (1+, 2) 或Q(1-,2)                  ………………9分
Q(-1,2) 或  Q(-1.5,2)
解析
(1)根据两个角对应相等,即可证明两个三角形相似;
(2)要求反比例函数的解析式,则需求得点A的坐标,即要求得AG的长,根据旋转的两个图形全等的性质以及相似三角形的对应边的比相等可以求解
(3)求出B点坐标,通过△OGA∽△AFB ,求得∠OAB=900从而得出结论
(4)分别有四种情况符合条件:AQ="OA" (由两种情况),OQ=OA,QA=OQ
举一反三
“标准对数视力表”对我们来说并不陌生,如图是视力表的一部分,其中最上面较大的“E”与下面四个较小的“E”中是位似图形的是    (    )
A.左上B.左下C.右上D.右下

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如图,D为△ABC的边AB上的一点,∠DCA=∠B,若AC=cm,AB=3 cm,则AD的长为    (    )
A.cmB.cmC.2 cmD.cm

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如图,已知点E(-4,2)、F(-1,-1),以点O为位似中心,按比例尺1:2把△EFO缩小,则点E的对应点E"的坐标为(       )
A.(2,-1)或(-2,1)B.(8,-4)或(-8,4)
C.(2,-1)D.(8,-4)

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如图,小明从路灯下向前走了5米,发现自己在地面上的影子长DE是2米,如果小明的身高为1.6米,那么路灯离地面的高度AB是_______米.
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如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,E、F分别是AB、BC的中点,EF与BD相交于点M.

小题1:△EDM与△FBM相似吗?为什么?
小题2:若DB=9,求BM的长
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