(1)求线段的长度问题,题中可先设其长度为k,然后利用三角形相似建立平衡关系,再用勾股定理求解即可. (2)连接OB,由⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形,则BE=EF,BC=CF;再由BE:EA=5:3可以设BE=5x,EA=3x,则FA=4x,CD=8x,又CF=AD,CF2=CD2+DF2,可得CF=10x,DF=6x,则BC=10x;在Rt△EBC中,由勾股定理可求得x的值,再由面积S△EBC=S△OEB+S△OBC求得⊙O半径,求出面积. 解:(1)∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=∠D=90°,BC=AD,AB=CD, ∴∠AFE+∠AEF=90° ∵F在AD上,∠EFC=90° ∴∠AFE+∠DFC=90° ∴∠AEF=∠DFC ∴△AEF∽△DFC ∴=. ∵BE:EA=5:3 设BE=5k,AE=3k ∴AB=DC=8k, 由勾股定理得:AF=4k, ∴= ∴DF=6k ∴BC=AD=10k 在△EBC中,根据勾股定理得BE2+BC2=EC2 ∵CE=15,BE=5k,BC=10k ∴(5k)2+(10k)2=(15)2 ∴k=3 ∴AB=8k=24,BC=10k=30 (2)连接OB, 由于⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形,则BE=EF,BC=CF; 由BE:EA=5:3,设BE=5x,EA=3x, 则FA=4x,CD=8x,又CF=AD,∴CF2=CD2+DF2,即CF2=(8x)2+(CF-4x)2,可得CF=10x,DF=6x,则BC=10x; 在Rt△EBC中,EB2+BC2=EC2,即(5x)2+(10x)2=15 2, 解得:x=3,则BE=15,BC=30. 再由S△EBC=S△OEB+S△OBC,则×BE×BC=×BE×r+×BC×r, 解得:r=10; 则⊙O的面积为πr2=100π. 本题考查了矩形的性质,会解决一些简单的翻折问题,能够利用勾股定理求解直角三角形;同时也考查了切线的性质及勾股定理的应用,难度稍大,解题时要理清思路. |