等边△ABC的边长为2,P是BC边上的任一点(与B、C不重合),连接AP,以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE,分别与边AB、AC交于点M、N(如图1)

等边△ABC的边长为2,P是BC边上的任一点(与B、C不重合),连接AP,以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE,分别与边AB、AC交于点M、N(如图1)

题型:不详难度:来源:
等边△ABC的边长为2,P是BC边上的任一点(与B、C不重合),连接AP,以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE,分别与边AB、AC交于点M、N(如图1)。
(1)求证:AM=AN;
(2)设BP=x。
①若,BM=,求x的值;
②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S,求S与x之间的函数关系式以及S的最小值;
③连接DE,分别与边AB、AC交于点G、H(如图2),当x取何值时,∠BAD=150?并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形,请说明理由。

答案
(1)见解析
(2)①
    
③直角三角形  见解析
解析
(1)由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系,从而用ASA证明。
(2)①由△BPM∽△CAP,根据对应边成比例得等式,解方程即可。
②应用全等三角形的判定和性质,锐角三角函数和勾股定理相关知识求得
用x的代数式表示S,用二次函数的最值原理求出S的最小值。
③由∠BAD=150得到四边形ADPE是菱形,应用相关知识求解。
求出DG、GH、HE的表达式,用勾股定理逆定理证明。
解:(1)证明:∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形,
∴AD=AP,∠DAP=∠BAC=600,∠ADM=∠APN=600。∴∠DAM=∠PAN。
∴△ADM≌△APN(ASA),∴AM=AN。
(2)①易证△BPM∽△CAP,∴
∵BN=,AC=2,CP=2-x,∴,即
解得x=或x=
②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积。
∵△ADM≌△APN,∴

如图,过点P作PS⊥AB于点S,过点D作DT⊥AP于点T,则点T是AP的中点。

在Rt△BPS中,∵∠P=600,BP=x,
∴PS=BPsin600=x,BS=BPcos600=x。
∵AB=2,∴AS=AB-BC=2-x。



∴当x=1时,S的最小值为
③连接PG,设DE交AP于点O。

若∠BAD=150
∵∠DAP =600,∴∠PAG =450
∵△APD和△APE都是等边三角形,
∴AD=DP=AP=PE=EA。
∴四边形ADPE是菱形。
∴DO垂直平分AP。
∴GP=AG。∴∠APG =∠PAG =450
∴∠PGA =900
设BG=t,
在Rt△BPG中,∠B=600,∴BP=2t,PG=。∴AG=PG=
,解得t=-1。∴BP=2t=2-2。
∴当BP=2-2时,∠BAD=150
猜想:以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
∵四边形ADPE是菱形,∴AO⊥DE,∠ADO=∠AEH=300
∵∠BAD=150,∴易得∠AGO=450,∠HAO=150,∠EAH=450
设AO=a,则AD="AE=2" a,OD=a。∴DG=DO-GO=(-1)a。
又∵∠BAD=150,∠BAC=600,∠ADO=300,∴∠DHA=∠DAH=750
∵DH=AD=2a,
∴GH=DH-DG=2a-(-1)a=(3-)a,
HE=2DO-DH=2a-2a=2(-1)a。



∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
举一反三
如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P是BC边上的动点,则AP长不可能是
A.3.5B.4.2 C.5.8D.7

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如图,西安路与南京路平行,并且与八一街垂直,曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口,准备去书店,按图中的街道行走,最近的路程约为
A.600mB.500mC.400m D.300m

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下列长度的三条线段,能组成等腰三角形的是(   )
A.1,1,2B.2,2,5C.3,3,5D.3,4,5

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已知,正边形的一个内角为,则边数的值是               .
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△ABC≌△DEF,且△ABC的周长为12,若AB=3,EF=4,AC =       .
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