试题分析:(1)如图1,把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM",连接NM′.就可以得出△ABM≌△ADM′,就有∠BAM=∠DAM′,就可以得出△AMN≌△AM′N就可以得出MN=M′N,由勾股定理就可以得出结论MN2=DN2+BM2. (2)①如图2,把△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACF,连接EF.就可以得出△ABD≌△ACF,就有∠BAD=∠CAF,∠B=∠ACF,就可以得到∠DAE=∠FAE,得出△ADE≌△AFE,就有DE=FE,在△EFC中,作FG⊥EC的延长线于点G,由三角函数值就可以得出CG=CF,GF=CF,在Rt△EGF中由勾股定理就可以得出结论. ②如图3,把△ABD绕点A逆时针旋转a得到△ACF,连接EF.就可以得出△ABD≌△ACF,就有∠BAD=∠CAF,∠B=∠ACF,就可以得到∠DAE=∠FAE,得出△ADE≌△AFE,就有DE=FE,在△EFC中,作FG⊥EC的延长线于点G,由三角函数值就可以得出CG=cosa•CF,GF=sina•CF,在Rt△EGF中由勾股定理就可以得出结论. 试题解析:(1)如图1,在正方形ABCD中,AB=AD,∠BAD=90°,∴∠ABM=∠ADN=45°. 把△ABM绕点A逆时针旋转90°得到△ADM".连结NM". ∴△ABM≌△ADM′.∴DM"=BM,AM"=AM,∠ADM"=∠ABM=45°,∠DAM"=∠BAM. ∴∠ADB+∠ADM′=45°+45°=90°,即∠NDM′=90°. ∵∠EAF=45°,∴∠BAM+∠DAN=45°.∴∠DAM′+∠DAF=45°,即∠M′AN=45°.∴∠M"AN=∠MAN. 在△AMN和△AM′N中,AM=AM′,∠MAN=∠M′AN,AN=AN, ∴△AMN≌△AM′N(SAS).∴M"N=MN. ∵∠NDM′=90°,∴M"N2=DN2+DM"2, ∴MN2=DN2+BM2.
(2)①BD、DE、EC关系式为:DE2=BD2+BD•EC+EC2.理由如下: 如图2,把△ABD绕点A逆时针旋转60°得到△ACF,连接EF,作FG⊥EC的延长线于点G. ∴△ABD≌△ACF,∠FGC=90°.∴AD=AF,BD=CF,∠BAD=∠CAF,∠B=ACF. ∵∠BAC=60°,AB=AC,∴△ABC是等边三角形.∴∠B=∠ACB=60°.∴∠ACF=60°. ∴∠ACF+∠ACB=60°+60°=120°,即∠ECF=120°.∴∠FCG=60°.∴∠CFG=30°. ∴CG=CF. 在Rt△CFG中,由勾股定理,得FG=CF. ∵∠DAE=30°,∴∠BAD+∠EAC=30°.∴∠CAF+∠EAC=30°,即∠EAF=30°.∴∠DAE=∠FAE. 在△ADE和△AFE中,AD=AE,∠DAE=∠FAE,∠AE=AE, ∴△ADE≌△AFE(SAS).∴DE=EF. 在Rt△EGF中,由勾股定理,得EF2=EG2+FG2, ∴.
②BD、DE、EC等量关系是:.理由如下: 把△ABD绕点A逆时针旋转a得到△ACF,连接EF.作FG⊥EC的延长线于点G. ∴△ABD≌△ACF,∠FGC=90°. ∴AD=AF,BD=CF,∠BAD=∠CAF,∠B=ACF. ∵AB=AC,∴∠B=∠ACB. ∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°,∠ACB+∠ACF+∠FCG=180°,∴∠BAC=∠FCG=α. ∴∠ACF=60°. ∴CG=cosα•CF,FG=sinα•CF. ∵∠DAE=α,∴∠BAD+∠CAE=α. ∴∠CAF+∠CAE=α,即∠EAF=α. ∴∠DAE=∠FAE. 在△ADE和△AFE中,AD=AE,∠DAE=∠FAE,∠AE=AE, ∴△ADE≌△AFE(SAS).∴DE=EF. 在Rt△EGF中,由勾股定理,得EF2=EG2+FG2, ∴
∵, ∴.
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