在△ABC,∠BAC为锐角,AB>AC, AD平分∠BAC交BC于点D.(1)如图1,若△ABC是等腰直角三角形,直接写出线段AC,CD,AB之间的数量关
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在△ABC,∠BAC为锐角,AB>AC, AD平分∠BAC交BC于点D. (1)如图1,若△ABC是等腰直角三角形,直接写出线段AC,CD,AB之间的数量关系; (2)BC的垂直平分线交AD延长线于点E,交BC于点F. ①如图2,若∠ABE=60°,判断AC,CE,AB之间有怎样的数量关系并加以证明; ②如图3,若,求∠BAC的度数.
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答案
(1)AB="AC+CD;" (2)①AB=AC+CE,证明见解析;②60°. |
解析
试题分析:(1)如图,过D点作DH⊥AB于点H,则根据角平分线的性质,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,得AB=AH+HB=AC+DH=AC+CD.
(2)①在线段AB上截取AH=AC,连接EH,证明△EHB是等边三角形即可得出结论. ②在线段AB上截取AH=AC,连接EH,作EM⊥AB于点M,求得得∠EAB=30°,从而∠BAC=2∠EAB=60°. 试题解析:(1)AB=AC+CD. (2)①AB=AC+CE,证明如下: 如图,在线段AB上截取AH=AC,连接EH. ∵AD平分∠BAC,∴. 又∵AE=AE,∴△ACE≌△AHE.∴CE=HE. ∵EF垂直平分BC,∴CE=BE. 又∠ABE=60°,∴△EHB是等边三角形. ∴BH=HE.∴AB=AH+HB=AC+CE.
②如图,在线段AB上截取AH=AC,连接EH,作EM⊥AB于点M. 易证△ACE≌△AHE,∴CE=HE.∴△EHB是等腰三角形.∴HM=BM. ∴AC+AB=AH+AB=AM-HM+AM+MB=2AM. ∵,∴. 在Rt△AEM中,,∴∠EAB=30°. ∴∠BAC=2∠EAB=60°.
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举一反三
如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,⊙P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为(6,0),⊙P的半径为,则点P的坐标为__________。
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在△ABC中,点I是内心,若∠A=40°,则∠BIC的度数为__________。 |
如图,点O是△ABC所在平面内一动点,连接OB、OC,并把AB、OB、OC、CA的中点D、E、F、G顺次连接起来,若四边形DEFG为正方形,则点O所在的位置满足的条件是_______________________.
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以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形,即△ABD、△BCE、△ACF. (1)请猜想四边形ADEF是什么特殊四边形?并说明理由. (2)当△ABC满足条件___________时,四边形ADEF为矩形; (3) 当△ABC满足条件___________时,四边形ADEF不存在.
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下列三条线段能构成三角形的是( )A.1,2,3 | B.20,20,30 | C.30,10,15 | D.4,15,7 |
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