已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E.(1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+C
题型:不详难度:来源:
已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AE是过点A的一条直线,且BD⊥AE于D,CE⊥AE于E. (1)当直线AE处于如图①的位置时,有BD=DE+CE,请说明理由; (2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系如何?请说明理由; (3)归纳(1)、(2),请用简洁的语言表达BD、DE、CE之间的关系.
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答案
(1)见解析 (2)见解析 (3)BD=DE-CE |
解析
此题考查了全等三角形的判定与性质,以及等腰直角三角形的性质,利用了转化及等量代换的思想,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键. (1)由BD垂直于AE,得到三角形ABD为直角三角形,利用直角三角形两锐角互余得到一对角互余,再由∠BAC=90°,得到一对角互余,利用同角的余角相等得到一对角相等,再由一对直角相等,AB=AC,利用AAS可得出三角形ABD与三角形ACE全等,由全等三角形的对应边相等得到AD=CE,BD=AE,由AE=AD+DE,等量代换即可得证; (2)当直线AE处于如图②的位置时,则BD、DE、CE的关系为BD=DE-CE,理由为:同(1)得出三角形ABD与三角形ACE全等,由全等三角形的对应边相等得到AD=CE,BD=AE,由AE=DE-AD等量代换即可得证; (3)由(1)(2)总结得到当D、E位于直线BC异侧时,BD=DE+CE;当D、E位于直线BC同侧时,BD=DE-CE. 解:(1)证明:∵BD⊥AE,CE⊥AE, ∴∠BDA=∠AEC=90°,∴∠ABD+∠BAD=90°, ∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠EAC=90°∴∠ABD=∠EAC, 在△ABD和△CAE中 ∵
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103015914-67949.png) ∴△ABD≌△CAE(AAS) ∴AD=CE,BD=AE, ∵AE=AD+DE, ∴BD=DE+CE; (2)BD、DE、CE的关系为BD=DE-CE,理由为: 证明:在△ABD和△CAE中
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103015914-13898.png) ∴△ABD≌△CAE(AAS) ∴AD=CE,BD=AE, ∵AE=DE-AD, ∴BD=DE-CE; (3)当D、E位于直线BC异侧时,BD=DE+CE;当D、E位于直线BC同侧时,BD=DE-CE. |
举一反三
如图,若∠A=60°,AC=20m,则BC大约是(结果精确到0.1m) ( )
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191103/20191103015908-33510.png) A.34.64m | B.34.6m | C.28.3m | D.17.3m |
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如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-6,0)、(0,8).以点A为圆心,以AB长为半径画弧,交x正半轴于点C,则点C的坐标为( ).
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如图是一株美丽的勾股树,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形A、B、C、D的面积分别为2,5,1,2.则最大的正方形E的面积是( )
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在一张直角三角形纸片中,分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形,得到如图所示的直角梯形,则原直角三角形纸片的斜边长是 ( )
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一个六边形的六个内角都是120度,连续四边的长为1,3,4,2,则该六边形的周长是( )。 |
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