(1)已知,如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E,求证:DE=BD+CE.(2)如
题型:不详难度:来源:
(1)已知,如图①,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线m经过点A,BD⊥直线m,CE⊥直线m,垂足分别为点D、E,求证:DE=BD+CE.
(2)如图②,将(1)中的条件改为:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α为任意钝角,请问结论DE=BD+CE是否成立?若成立,请你给出证明:若不成立,请说明理由. |
答案
(1)证明详见解析;(2)结论DE=BD+CE仍然成立,证明详见解析. |
解析
试题分析:本题考查了全等三角形的判定与性质:判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”;由同角的余角相等得出∠CAE=∠ABD是解题关键.(1)根据BD⊥直线m,CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°,而∠BAC=90°,根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD,然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA,则AE=BD,AD=CE,于是DE=AE+AD=BD+CE;(2)利用∠BDA=∠BAC=α,则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,得出∠CAE=∠ABD,进而得出△ADB≌△CEA即可得出答案. 试题解析: 证明:(1)∵BD⊥直线m,CE⊥直线m, ∴∠BDA=∠CEA=90°, ∵∠BAC=90°, ∴∠BAD+∠CAE=90°, ∵∠BAD+∠ABD=90°, ∴∠CAE=∠ABD, ∵在△ADB和△CEA中
∴△ADB≌△CEA(AAS), ∴AE=BD,AD=CE, ∴DE=AE+AD=BD+CE; 结论DE=BD+CE仍然成立,证明如下: ∵∠BDA=∠BAC=α, ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α, ∴∠CAE=∠ABD, ∵在△ADB和△CEA中
∴△ADB≌△CEA(AAS), ∴AE=BD,AD=CE, ∴DE=AE+AD=BD+CE. |
举一反三
如图,将等腰直角三角形按图示方式翻折,若DE=2,下列说法正确的个数有( )
①△BC′D是等腰三角形; ②△CED的周长等于BC的长; ③DC′平分∠BDE; ④BE长为。 |
如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,EF//AB,∠CEF=50°,则∠B的度数为( )
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下列判断正确的是( )A.有一直角边相等的两个直角三角形全等 | B.腰相等的两个等腰三角形全等 | C.斜边相等的两个等腰直角三角形全等 | D.两个锐角对应相等的两个直角三角形全等 |
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在Rt△ABC中, 锐角∠A=35°,则另一个锐角∠B= . |
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