将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE,DE的延长线与AC相交于点F,连接DA、BF.(1)如图1,若∠ABC=α=60°,BF=AF.①求证:DA∥BC;②
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将△ABC绕点B逆时针旋转α得到△DBE,DE的延长线与AC相交于点F,连接DA、BF. (1)如图1,若∠ABC=α=60°,BF=AF.
①求证:DA∥BC;②猜想线段DF、AF的数量关系,并证明你的猜想; (2)如图2,若∠ABC<α,BF=mAF(m为常数),求的值(用含m、α的式子表示).
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答案
解:(1)①证明:由旋转性质可知,∠DBE=∠ABC=60°,BD=AB。 ∴△ABD为等边三角形。∴∠DAB=60°。∴∠DAB=∠ABC。 ∴DA∥BC。 ②猜想:DF=2AF。证明如下: 如答图1所示,在DF上截取DG=AF,连接BG,
由旋转性质可知,DB=AB,∠BDG=∠BAF, ∵在△DBG与△ABF中,DB=AB,∠BDG=∠BAF,DG=AF, ∴△DBG≌△ABF(SAS)。∴BG=BF,∠DBG=∠ABF。 ∵∠DBG+∠GBE=α=60°,∴∠GBE+∠ABF=60°,即∠GBF=α=60°。 又∵BG=BF,∴△BGF为等边三角形。∴GF=BF。 又∵BF=AF,∴GF=AF。∴DF=DG+GF=AF+AF=2AF。 (2)如答图2所示,在DF上截取DG=AF,连接BG,
由(1),同理可证明△DBG≌△ABF,BG=BF,∠GBF=α。 过点B作BN⊥GF于点N, ∵BG=BF,∴点N为GF中点,∠FBN=。 在Rt△BFN中,NF=BF•sin∠FBN=BFsin=mAFsin. ∴GF=2NF=2mAFsin。∴DF=DG+GF=AF+2mAFsin。 ∴。 |
解析
试题分析:(1)由旋转性质证明△ABD为等边三角形,则∠DAB=∠ABC=60°,所以DA∥BC。 (2)①如答图1所示,作辅助线(在DF上截取DG=AF,连接BG),构造全等三角形△DBG≌△ABF,得到BG=BF,∠DBG=∠ABF;进而证明△BGF为等边三角形,则GF=BF=AF;从而DF=2AF。 ②与①类似,作辅助线,构造全等三角形△DBG≌△ABF,得到BG=BF,∠DBG=∠ABF,由此可知△BGF为顶角为α的等腰三角形,解直角三角形求出GF的长度,从而得到DF长度,问题得解。 |
举一反三
如图,将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放,两个三角板的一直角边重合,含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合,含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上,则∠1的度数是
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如图,四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立的是
A.AB=AD | B.AC平分∠BCD | C.AB=BD | D.△BEC≌△DEC |
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如图△ABC中,∠A=900,点D在AC边上,DE∥BC,若∠1=1550, 则∠B的度数为 .
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如图,ABCD与DCFE的周长相等,且∠BAD=600,∠F=1100,则∠DAE的度数为 .
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某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程:
●操作发现: 在等腰△ABC中,AB=AC,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中DF⊥AB于点F,EG⊥AC于点G,M是BC的中点,连接MD和ME,则下列结论正确的是 (填序号即可) ①AF=AG=AB;②MD=ME;③整个图形是轴对称图形;④∠DAB=∠DMB. ●数学思考: 在任意△ABC中,分别以AB和AC为斜边,向△ABC的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是BC的中点,连接MD和ME,则MD和ME具有怎样的数量和位置关系?请给出证明过程; ●类比探索: 在任意△ABC中,仍分别以AB和AC为斜边,向△ABC的内侧作等腰直角三角形,如图3所示,M是BC的中点,连接MD和ME,试判断△MED的形状. 答: . |
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