已知:如图,△ABC是边长为3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q

已知:如图,△ABC是边长为3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q

题型:不详难度:来源:
已知:如图,△ABC是边长为3cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间t(s),解答下列各问题:

(1)求的面积;
(2)当t为何值是,△PBQ是直角三角形?
(3)设四边形APQC的面积为y(),求y与t的关系式;是否存在某一时刻t,使四边形APQC的面积是面积的三分之二?如果存在,求出t的值;不存在请说明理由.
答案
(1);(2)t=2或t=1;(3)不存在
解析

试题分析:(1)根据等边三角形的性质及三角形的面积公式求解即可;
(2)由题意此时P点和Q点移动距离为tcm,所以AP=BQ=tcm,BP=AB-AP=3-tcm,则在△PBQ中,∠B=60°,BP=3-t,BQ=t,分①当PQ⊥BC时,则∠BPQ=30°,②当PQ⊥BA时,则∠BQP=30°,两种情况,结合含30°角的直角三角形的性质求解即可;
(3)作QD⊥AB于D,则,根据的面积可表示出△BQD的面积,从而可得y与t的函数关系式,即可得到关于t的方程,由方程的根的判别式△即可作出判断.
(1)
(2)此时P点和Q点移动距离为tcm,所以AP=BQ=tcm,BP="AB-AP=3-tcm"
在△PBQ中,∠B=60°,BP=3-t,BQ=t
①当PQ⊥BC时,则∠BPQ=30°
∴BP=2BQ,即3-t=2t
∴t=1;
②当PQ⊥BA时,则∠BQP=30°
∴BQ=2BP,即2(3-t)=t
∴t=2                 
综上所述,t=2或t=1;
(3)作QD⊥AB于D,则 



  

              
化简得:

∴不存在这样的t.
点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型.
举一反三
若a、b、c为一个三角形的三条边,则代数式的值(   )
A.一定为正数B.一定为负数
C.可能为正数,也可能为负数D.可能为零

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下列长度的3条线段,能构成三角形的是(   )
A.1cm,2cm,3cmB.2cm,3cm,4cmC.4cm,4cm,8cmD.5cm,6cm,12cm

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如果AD.AE.AF分别是△ABC的中线、高和角平分线,且有一条在△ABC的外部,则这个三角形是(    )
A.锐角三角形      B.直角三角形      C.钝角三角形     D.任意三角形
题型:不详难度:| 查看答案
若一个多边形的内角和为1080°,则这个多边形的边数为            .
题型:不详难度:| 查看答案
如图,△ABC的面积为1.分别倍长(延长一倍)AB,BC,CA得到△A1B1C1.再分别倍长A1B1,B1C1,C1A1得到△A2B2C2.…按此规律,倍长n次后得到的△AnBnCn的面积为         
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