此题综合考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定及含30°角的直角三角形的知识 (1)根据含30°角的直角三角形的性质进行证明; (2)作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F.根据角平分线的性质,得CE=CF,根据等角的补角相等,得∠CDE=∠ABC,再根据AAS得到△CDE≌△CBF,则DE=BF.再由∠MAN=120°,AC平分∠MAN,得到∠ECA=∠FCA=30°,从而根据30°所对的直角边等于斜边的一半,得到,,等量代换后即可证明AD+AB=AC仍成立. (1)∵∠MAN=120°,AC平分∠MAN, ∴∠CAD=∠CAB=60°. 又∠ABC=∠ADC=90°, ,, ∴AB+AD=AC. (2)结论仍成立.理由如下:作CE⊥AM、CF⊥AN于E、F.则∠CED=∠CFB=90°,
∵AC平分∠MAN, ∴CE=CF. ∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠CDE=180° ∴∠CDE=∠ABC, 在△CDE和△CBF中,
∴△CDE≌△CBF(AAS), ∴DE=BF. ∵∠MAN=120°,AC平分∠MAN, ∴∠MAC=∠NAC=60°,∴∠ECA=∠FCA=30°, 在Rt△ACE与Rt△ACF中,则有,, 则AD+AB=AD+AF+BF=AD+AF+DE=AE+AF==AC. ∴AD+AB=AC. |