如图，已知，AB的中垂线交于点，交于点， 平分.（1）求证：∽； （2）求的值；（3）求的值；

题型：不详难度：来源：

如图，已知，AB的中垂线交于点，交于点， 平分.
（1）求证：∽；
（2）求的值；
（3）求的值；

答案

证明： ∵AB的中垂线交于点
∴AD=BD
∴∠A=∠ABD
∵平分
∴∠A=∠ABD=∠DBC
又∠C是公共角
∴∽
（2）根据（1）可得：AD=BD=BC
设AC=1，AD=x
∵∽
则
解得或（不合题意，舍去）
∴
∴
（3）在中，DM⊥AB
∴ …

解析

（1）首先根据中垂线的性质得到AD=BD，接着得到∠A=∠ABD，而BD平分∠ABC，由此得到∠A=∠ABD=∠DBC，又∠C是公共角，然后利用相似三角形的判定定理即可证明△ABC∽△BCD；
（2）根据（1）可得AD=BD=BC，设AC=1，AD=x，然后利用相似三角形的性质得到，
解方程求得，然后就可以求出；
（3）在Rt△AMD中，DM⊥AB，根据三角函数的定义即可解决问题．