如图(1)，Rt ∆ABC中，垂足为D.AF平分∠CAB．交CD于点E，交CB于点F.小题1:求证：CE=CF；小题2:将图(1)中的∆ADE沿AB向右平移到∆

题型：不详难度：来源：

如图(1)，Rt ∆ABC中，垂足为D.AF平分∠CAB．交CD于点E，交CB于点F.
小题1:求证：CE=CF；
小题2:将图(1)中的∆ADE沿AB向右平移到∆A"D"E"的位置，使点E’落在BC边上，其它条件不变，如图(2)所示．试猜想：BE’与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．

答案

小题1:证明：因为AF平分∠CAB，
所以∠CAF= ∠EAD，                                                     （1分）
因为：∠ACB=90⁰
所以：∠CAF+∠CFA=90^{0                                                                            （2分）}
因为：CD⊥AB于D
所以：∠EAD+∠AED=90⁰
所以：∠CFA=∠AED,又∠AED=∠CEF,
所以：∠CFA=∠CEF,
所以;CE=CF
小题2:猜想：BE’=CF                                                      (5分)
证明：如图，过点E作EG⊥AC于点G

又AF平分∠CAB，ED⊥AB、ED⊥AB，EG⊥AC
所以：ED=EG，
由平移的性质可知：D’E’=DE,
所以：D’E’=GE
因为：∠ACB=90⁰
所以：∠ACD+∠DCB=90⁰
因为：CD⊥AB于点D
所以：∠B+∠DCB=90⁰
所以：∠ACD=∠B
在Rt∆CEG与Rt∆BE’D’中

所以：∆CEG≅∆BE’D’                                                 (8分)
所以：CE=BE’
由（1）可知CE=CF。
所以：BE’=CF                                                      （9分）

解析

（1）根据平分线的定义可知∠CAF=∠EAD，再根据已知条件以及等量代换即可证明CE=CF，
（2）根据题意作辅助线过点E作EG⊥AC于G，根据平移的性质得出D′E′=DE，再根据已知条件判断出△CEG≌△BE′D′，可知CE=BE′，再根据等量代换可知BE′=CF．