解:⑴ 证明:∵AC平分∠BAD, ∴∠BAC=∠DAC. 又∵∠D =∠B=Rt∠,AC公用, ∴△ABC≌△ADC. ∴ BC=CD. …………………………………………2分 ⑵ 一定相等 . ………………………………………………3分 证明:如图2,不妨设∠B为锐角,作CE⊥AB于E,则点E必在线段AB上 ∵∠B和∠D互为补角, ∴∠D是钝角,作CF⊥AD于F, 则点F必在线段AD的延长线上. ∴∠CDF与∠ADC互补. ∴∠B=∠CDF. 又∵AC是∠BAD的平分线, ∴ CE=CF. ∴Rt△BCE≌Rt△DCF ∴ BC=CD. ………………………………………………6分 ⑶ AB+AD=AC. ………………………………………………7分 理由是:图2中,由已知条件,易知AE=AF,BE=DF. ∴AB+AD=(AE+BE)+(AF-DF)=AE+AF=2AE. 当∠BAD=60°时,∠CAE=30°,AE=AC. ∴AB+AD=2AE=AC. ………………………………………………10分 (1)由AC平分∠BAD与∠B和∠D都是直角,以及AC是公共边,根据AAS即可证得△ABC≌△ADC,则可得BC=CD; (2)首先不妨设∠B为锐角,作CE⊥AB于E,则点E必在线段AB上,由∠B和∠D互为补角,可得∠D是钝角,作CF⊥AD于F,则点F必在线段AD的延长线上,则可得∠D=∠CBF,又由AC是∠BAD的平分线,与CE=CF,即可证得Rt△BCF≌Rt△DCE,则可得BC=CD; (3)在图2中,由已知条件,易知AE=AF,BE=DF,则可得AB+AD=(AE+BE)+(AF-DF)=AE+AF=2AE,则可证得AB+AD=2AE=AC |