如图,C为线段AE上一动点(不与A、E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结P
题型:不详难度:来源:
如图,C为线段AE上一动点(不与A、E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ,以下五个结论:①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°其中完全正确的是( ) A.①②③④ B.②③④⑤ C.①③④⑤ D.①②③⑤
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答案
D |
解析
①由于△ABC和△CDE是等边三角形,可知AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,从而证出△ACD≌△BCE,可推知AD=BE; ②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC,加之∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,得到△CQB≌△CPA(ASA),再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形,又由∠PQC=∠DCE,根据内错角相等,两直线平行,可知②正确; ③根据②△CQB≌△CPA(ASA),可知③正确; ④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ,∠CDE=60°,可知∠DQE≠∠CDE,可知④错误; ⑤利用等边三角形的性质,BC∥DE,再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO,于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°,可知⑤正确. 解答:解:∵等边△ABC和等边△CDE, ∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°, ∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE, ∴△ACD≌△BCE(SAS), ∴AD=BE, ∴①正确, ∵△ACD≌△BCE, ∴∠CBE=∠DAC, 又∵∠ACB=∠DCE=60°, ∴∠BCD=60°,即∠ACP=∠BCQ, 又∵AC=BC, ∴△CQB≌△CPA(ASA), ∴CP=CQ, 又∵∠PCQ=60°可知△PCQ为等边三角形, ∴∠PQC=∠DCE=60°, ∴PQ∥AE②正确, ∵△CQB≌△CPA, ∴AP=BQ③正确, ∵AD=BE,AP=BQ, ∴AD-AP=BE-BQ, 即DP=QE, ∵∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ,∠CDE=60°, ∴∠DQE≠∠CDE,故④错误; ∵∠ACB=∠DCE=60°, ∴∠BCD=60°, ∵等边△DCE, ∠EDC=60°=∠BCD, ∴BC∥DE, ∴∠CBE=∠DEO, ∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°, ∴⑤正确. 故正确的有:①②③⑤. |
举一反三
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如图所示,,点是的交点,点是 的中点.试判断和的位置关系,并给出证明 |
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在平面直角坐标系中,已知,,.将先绕点逆时针旋转90°得到△,再把所得三角形向上平移2个单位得到△ 小题1:在图中画出上述变换的图形,并涂黑 小题2:求在上述变换过程所扫过的面积. |
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