如图，D为△ABC内的一点，E为△ABC外的一点，且∠1=∠2，∠3=∠4．（1）求证：△ABD∽△CBE．（2）求证：△ABC∽△DBE．

题型：河北省期末题难度：来源：

如图，D为△ABC内的一点，E为△ABC外的一点，且∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）求证：△ABD∽△CBE．
（2）求证：△ABC∽△DBE．

答案

证明：（1）∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知），
∴△ABD∽△CBE（两角对应相等，两三角形相似）；
（2）∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DBC=∠2+∠DBC，即∠ABC=∠DBE，
由（1）△ABD∽△CBE可得：

（相似三角形的对应边成比例），
∴△ABC∽△DBE（两边对应成比例，且夹角相等两三角形相似）．

举一反三

如图，正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
（1）求证：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）若MN的延长线交正方形外角平分线CP于点P，当点M在BC边上如图位置时，请你在AB边上找到一点H，使得AH=MC，连接HM，进而判断AM与PM的大小关系，并说明理由；
（3）若BM=1，则梯形ABCN的面积为（）；设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；
（4）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时BM的值．