如图，已知，CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，点P是CE的延长线上任意一点，BG⊥AP，求证：（1）△AEP∽△DEB；（2）CE2=ED·EP。若点P在线段

题型：江苏省期末题难度：来源：

如图，已知，CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，点P是CE的延长线上任意一点，BG⊥AP，
求证：（1）△AEP∽△DEB；
（2）CE²=ED·EP。若点P在线段CE上或EC的延长线上时（如图2和图3），上述结论CE²＝ED?EP还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。（图2和图3挑选一张给予说明即可）

答案

解：（1））CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，BG⊥AP，
∴∠P+∠PAE=90°，∠DBE+∠PAE=90°，
∴∠P=∠DBE，
又∠AEP=∠DEB=90°，
∴△AEP∽△DEB。
（2）选择图2，成立
∵CE是Rt△ABC的斜边AB上的高，
∴△ACE∽△CBE
∴
即CE²=AE·BE。
和（1）中的证明同理，得△AEP∽△DEB
∴
即AE·BE=EP·ED
则△AEP∽△DEB
∴BE=
∵CE²=AE·BE
∴CE²=ED·EP。