已知在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为A(3,0)、C(0,4),点D的坐标为(-5,0),点P是直线AC上的一动点,直线DP与轴交

已知在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为A(3,0)、C(0,4),点D的坐标为(-5,0),点P是直线AC上的一动点,直线DP与轴交

题型:云南省中考真题难度:来源:
已知在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点A、C的坐标分别为A(3,0)、C(0,4),点D的坐标为(-5,0),点P是直线AC上的一动点,直线DP与轴交于点M,问:
(1)当点P运动到何位置时,直线DP平分矩形OABC的面积,请简要说明理由,并求出此时直线DP的函数解析式;
(2)当点P沿直线AC移动时,是否存在使△DOM与△ABC相似的点M,若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)当点P沿直线AC移动时,以点P为圆心、半径长为R(R>0)画圆,所得到的圆称为动圆P,若设动圆P的直径长为AC,过点D作动圆P的两条切线,切点分别为点E、F,请探求是否存在四边形DEPF的最小面积S,若存在,请求出S的值;若不存在,请说明理由。
注:第(3)问请用备用图解答
答案

解:(1)连结BO与AC交于点H,则当点P运动到点H时,
直线DP平分矩形OABC的面积,理由如下:
∵矩形是中心对称图形,且点H为矩形的对称中心,
又据经过中心对称图形对称中心的任一直线平分此中心对称图形的面积,
因为直线DP过矩形OABC的对称中心点H,
所以直线DP平分矩形OABC的面积,
由已知可得此时点的坐标为
设直线的函数解析式为y=kx+b,
则有,解得
所以,直线DP的函数解析式为:
(2)存在点使得相似,
如图,不妨设直线DP与y轴的正半轴交于点M(0,),
因为∠DOM=∠ABC,若△DOM与△ABC相似,
则有
时,即,解得
所以点M1(0,)满足条件,
时,即,解得
所以点满足条件,
由对称性知,点也满足条件,
综上所述,满足使相似的点有3个,
分别为
(3)如图,过D作DP⊥AC于点P,以P为圆心,半径长为画圆,
过点D分别作的切线DE、DF,点E、F是切点,
除P点外在直线AC上任取一点P1,半径长为画圆,
过点D分别作的切线DE1、DF1,点E1、F1是切点,
在△DEP和△DFP中,∠PED=∠PFD,PF=PE,PD=PD,
∴△DPE≌△DPF,
∴S四边形DEPF=2S△DPE=2×
∴当DE取最小值时,S四边形DEPF的值最小,





由点P1的任意性知:DE是点与切点所连线段长的最小值,
在△ADP与△AOC中,∠DPA=∠AOC,∠DAP=∠CAO,
∴△ADP∽△AOC
,即


∴S四边形DEPF=,即S=


举一反三
如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、CD上的点,AE=ED,DF=DC,连接EF并延长交BC的延长线于点G。
(1)求证:△ABE∽△DEF;
(2)若正方形的边长为4,求BG的长。

题型:四川省中考真题难度:| 查看答案
如(a)图,在平面直角坐标系中,点A坐标为(12,0),点B坐标为(6,8),点C为OB的中点,点D从点O出发,沿△OAB的三边按逆时针方向以2个单位长度/秒的速度运动一周。
(1)点C坐标是_______,当点D运动8.5秒时所在位置的坐标是______;
(2)设点D运动的时间为t秒,试用含t的代数式表示△OCD的面积S,并指出t为何值时,S最大;
(3)点E在线段AB上以同样速度由点A向点B运动,如(b)图,若点E与点D同时出发,问在运动5秒钟内,以点D,A,E为顶点的三角形何时与△OCD相似?(只考虑以点A、O为对应顶点的情况)
题型:江苏省中考真题难度:| 查看答案
学习《图形的相似》后,我们可以探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验,继续探索两个直角三角形相似的条件。
(1)“对于两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,两个直角三角形全等”,类似地,你可以得到“满足_____,或_____,两个直角三角形相似”;
(2)“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”,类似地,你可以得到满足_____两个直角三角形相似”,请结合下列所给图形,写出已知,并完成说理过程。
已知:如图,_____。
试说明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′。
题型:江苏省中考真题难度:| 查看答案
如图,E是□ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于F,在不添加辅助线的情况下,请写出图中一对相似三角形,并说明理由。
题型:福建省中考真题难度:| 查看答案
如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点,则使△AED∽△ABC的条件是(    )。
题型:甘肃省中考真题难度:| 查看答案
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