如图,AB是⊙O的直径,AC切⊙O于点A,且AC=AB,CO交⊙O于点P,CO的延长线交⊙O于点F,BP的延长线交AC于点E,连接AP、AF。求证: (1)AF

如图,AB是⊙O的直径,AC切⊙O于点A,且AC=AB,CO交⊙O于点P,CO的延长线交⊙O于点F,BP的延长线交AC于点E,连接AP、AF。求证: (1)AF

题型:广东省中考真题难度:来源:
如图,AB是⊙O的直径,AC切⊙O于点A,且AC=AB,CO交⊙O于点P,CO的延长线交⊙O于点F,BP的延长线交AC于点E,连接AP、AF。求证:
(1)AF∥BE;
(2)△ACP∽△FCA;
(3)CP=AE。
答案
解:(1)∵∠B、∠F同对劣弧AP ,
∴∠B=∠F
∵BO=PO,
∴∠B=∠BPO
∴∠F=∠BPF,
∴AF∥BE。
(2)∵AC切⊙O于点A,AB是⊙O的直径,
∴∠BAC=90°
∵AB是⊙O的直径,
∴∠BPA=90°
∴∠EAP =90°-∠BEA,∠B=90°-∠BEA,
∴∠EAP=∠B=∠F
又∠C=∠C,
∴△ACP∽△FCA。
(3)∵∠CPE=∠BPO=∠B=∠EAP,∠C=∠C
∴△PCE∽△ACP

∵∠EAP=∠B,∠EPA=∠APB=90°
∴△EAP∽△ABP

又AC=AB

于是有
∴CP=AE。
举一反三
如图,∠1=∠2,添加一个条件(    )使得△ADE∽△ACB。
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如图,一次函数y=ax+b的图象与x轴,y轴交于A,B两点,与反比例函数的图象相交于C,D两点,分别过C,D两点作x轴,y轴的垂线,垂足为E,F,连接CF,DE,有下列四个结论:
①△CEF与△DEF的面积相等;②△AOB∽△FOE;
③△DCE≌△CDF;④AC=BD。
其中正确的结论是(    )(把你认为正确结论的序号都填上)。
题型:湖北省中考真题难度:| 查看答案
如图,在△ABC和△ADE中,∠BAD=∠CAE,∠ABC=∠ADE。
(1)写出图中两对相似三角形(不得添加字母和线);
(2)请分别说明两对三角形相似的理由。
题型:山东省中考真题难度:| 查看答案
如图①,将一张矩形纸片对折,然后沿虚线剪切,得到两个(不等边)三角形纸片△ABC,△A1B1C1
(1)将△ABC,△A1B1C1如图②摆放,使点A1与B重合,点B1在AC边的延长线上,连接CC1交BB1于点E,求证:∠B1C1C=∠B1BC;
(2)若将△ABC,△A1B1C1如图③摆放,使点B1与B重合,点A1在AC边的延长线上,连接CC1交A1B于点F,试判断∠A1C1C与∠A1BC是否相等,并说明理由;

(3 )写出问题(2   )中与△A1FC   相似的三角形_______________。
题型:山东省中考真题难度:| 查看答案
如图,在□ABCD中,BE⊥AD于点E,BF⊥CD于点F,AC与BE、BF分别交于点G,H。
(1)求证:△BAE∽△BCF;
(2)若BG=BH,求证四边形ABCD是菱形。
题型:四川省中考真题难度:| 查看答案
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