如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E．证明：∠BAE=∠ACB．

题型：竞赛题难度：来源：

如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E．证明：∠BAE=∠ACB．

答案

证明：连接OA，OB，OC，BD．
∵OA⊥AP，AD⊥OP，
∴由射影定理可得：PA²=PDPO，AD²=PDOD．
又由切割线定理可得 PA²=P BP C，
∴P BP C=PDPO，
∴D、B、C、O四点共圆，
∴∠PDB=∠PCO=∠OBC=∠ODC，∠PBD=∠COD，
∴△PBD∽△COD，
∴，
∴BDCD=PDOD=AD²，
∴．
又∠BDA=∠BDP+90°=∠ODC+90°=∠ADC，
∴△BDA∽△ADC，
∴∠BAD=∠ACD，
∴AB是△ADC的外接圆的切线，
∴∠BAE=∠ACB．