已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形A

题型：重庆市中考真题难度：来源：

已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．
（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；
（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．

答案

解：（1）如图①，
设正方形BEFG的边长为x，
则BE=FG=BG=x
∵AB=3，BC=6，
∴AG=AB﹣BG=3﹣x，
∵GF∥BE，
∴△AGF∽△ABC，
∴，
即，
解得：x=2，
即BE=2；
（2）存在满足条件的t，
理由：如图②，过点D作DH⊥BC于H，
则BH=AD=2，DH=AB=3，
由题意得：BB′=HE=t，HB′=|t﹣2|，EC=4﹣t，
在Rt△B′ME中，B′M²=ME²+B?E²=2²+（2﹣t）²=t²﹣2t+8，
∵EF∥AB，
∴△MEC∽△ABC，
∴，即，
∴ME=2﹣t，
在Rt△DHB′中，B′D²=DH²+B′H²=3²+（t﹣2）²=t²﹣4t+13，过点M作MN⊥DH于N，
则MN=HE=t，NH=ME=2﹣t，
∴DN=DH﹣NH=3﹣（2﹣t）=t+1，
在Rt△DMN中，DM²=DN²+MN²=t²+t+1
（Ⅰ）若∠B′MD=90°，则B′D²=B′M²+DM²，
即t²+t+1=（t²﹣2t+8）+（t²﹣4t+13），
解得：t=，
（Ⅱ）若∠B′DM=90°，则B′M²=B′D²+DM²，
即：t²﹣2t+8=（t²﹣4t+13）+（t²+t+1），
解得：t₁=﹣3+，t₂=﹣3﹣（舍去），
∴t=﹣3+；
（Ⅲ）若∠B′DM=90°，则B′M²=B′D²+DM²，
即：t²﹣2t+8=（t²﹣4t+13）+（t²+t+1），
此方程无解，
综上所述，当t=或﹣3+时，△B′DM是直角三角形；
（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，
即2：3=CE：4，
∴CE=，
∴t=BB′=BC﹣B′E﹣EC=6﹣2﹣=，
∵ME=2﹣t，
∴FM=t，
当0≤t≤时，S=S_△FMN=×t×t=t²，
②当G在AC上时，t=2，
∵EK=ECtan∠DCB=EC=（4﹣t）=3﹣t，
∴FK=2﹣EK=t﹣1，
∵NL=AD=，
∴FL=t﹣，
∴当＜t≤2时，S=S_△FMN﹣S_△FKL=t²﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t²+t﹣；
③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，
即B′C：4=2：3，
解得：B′C=，
∴EC=4﹣t=B′C﹣2=，
∴t=，
∵B′N=B′C=（6﹣t）=3﹣t，
∴GN=GB′﹣B′N=t﹣1，
∴当2＜t≤时，S=_S梯形GNMF﹣S_△FKL=×2×（t﹣1+t）﹣（t﹣）（t﹣1）=﹣t²+2t﹣，
④如图⑥，当＜t≤4时，
∵B′L=B′C=（6﹣t），EK=EC=（4﹣t），B′N=B?C=（6﹣t）EM=EC=（4﹣t），
S=S_梯形MNLK=S_{梯形B′EKL}﹣S_{梯形B′EMN}=﹣t+．
综上所述：
当0≤t≤时，S=t2，
当＜t≤2时，S=﹣t²+t﹣；当2＜t≤时，S=﹣t²+2t﹣，
当＜t≤4时，S=﹣t+．