如图1,在⊙O中,,点M是上任意一点,弦CD与弦BM交于点F,连接MC,MD,BD。(1)请你在图1中过点B作⊙O的切线AE,并证明AE∥CD;(不写作法,作图

如图1,在⊙O中,,点M是上任意一点,弦CD与弦BM交于点F,连接MC,MD,BD。(1)请你在图1中过点B作⊙O的切线AE,并证明AE∥CD;(不写作法,作图

题型:辽宁省中考真题难度:来源:
如图1,在⊙O中,,点M是上任意一点,弦CD与弦BM交于点F,连接MC,MD,BD。
(1)请你在图1中过点B作⊙O的切线AE,并证明AE∥CD;(不写作法,作图允许使用三角板)
(2)求证:MC·MD=MF·MB;
(3)如图2,若点M是上任意一点(不与点B,点C重合),弦BM,DC的延长线交于点F,连接MC,MD,BD,则结论MC·MD=MF·MB是否仍然成立?如果成立,请写出证明过程;如果不成立,请说明理由。
答案
解:(1)如图,正确作出切线,
证明:∵AE是⊙O的切线,
∴∠DBE=∠DMB,

∴∠CDB=∠DMB,
∴∠DBE=∠CDB,
∴AE∥CD;
(2)证明:∵
∴∠CMF=∠BMD,
又∵∠MCF=∠MBD,
∴△MCF∽△MBD,

∴MC·MD=MF·MB;
(3)成立;
证明:∵四边形BDCM是⊙O的内接四边形,
∴∠FCM=∠DBM,∠FMC=∠BDC,

∴∠BDC=∠DMB,
∴∠FMC=∠DMB,
∴△MCF∽△MBD,

∴MC·MD=MF·MB。
举一反三
如图,点P是⊙O的直径BA延长线上一点,PC与⊙O相切于点C,CD⊥AB,垂足为D,连结AC、BC、OC,那么下列结论中:①PC2=PA·PB;②PC·OC=OP·CD;③OA2=OD·OP,正确的有
[     ]
A、0个
B、1个
C、2个
D、3个
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如图,在△ABC中,D、E分别是AB和AC的中点,F是BC延长线上一点,DF平分CE于点G,CF=1,则BC=(    ),△ADE与△ABC的周长之比为(    ),△CFG与△BFD的面积之比为(    )。
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如图,D为△ABC的AB边上的一点,∠DCA=∠B,若AC=cm,AB=3cm,则AD的长为
[     ]
A.
B.
C.2cm
D.
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如图,在Rt△ABC中,E为斜边AB上一点,AE=2,EB=1,四边形DEFC为正方形,则阴影部分的面积为(    )。
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如图,已知直角三角形ABC。
(1)试作出经过点A,圆心O在斜边AB上,且与边BC相切于点E的⊙O及切点E和圆心O(要求:用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明);
(2)设(1)中所作的⊙O与边AB交于异于点A的另一点D,求证:

②EC·BE=AC·BD。
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