如图，⊙O的直径BC=4，过点C作⊙O的切线m，D是直线m上一点，且DC=2，A是线段BO上一动点，连接AD交⊙O于G，过点A作AD的垂线交直线m于点F，交⊙O

题型：湖北省中考真题难度：来源：

如图，⊙O的直径BC=4，过点C作⊙O的切线m，D是直线m上一点，且DC=2，A是线段BO上一动点，连接AD交⊙O于G，过点A作AD的垂线交直线m于点F，交⊙O于点H，连接GH交BC于E。
（1）当点A是BO的中点时，求AF的长；
（2）若∠AGH=∠AFD，求△AGH的面积。

答案

解：（1）∵BC=4，A是OB的中点
∴AC=3
又∵DC为⊙O的切线
∴∠ACD=∠ACF=90°
∵AD⊥AF
∴∠ADC、∠CAF都和∠DAC互余
∴∠ADC=∠CAF
∴△ACD∽△FCA
∴CD：AC=AC：FC
即2：3=3：FC
解得：FC=
AF=。
（2）∵∠AGH=∠AFD，∠DAF=∠HAG，
∴△AGH∽△AFD，
∴∠AGH=∠F=∠CAG，∠AHG=∠D=∠CAF，
∴AE=GE=HE，
①如果GH是直径（即A与B重合，E与O重合），那么GH=4；
在直角△AFD中，FC=8，FD=10，
∵△AGH∽△AFD，
∴△AGH与△AFD相似比为GH：FD=4：10，
∴这两个相似三角形的面积比为16：100，
而△AFD的面积为20，
∴△AGH的面积=20×16÷100=3.2；
②如果GH不是直径，那么根据垂径定理的推论可得GH⊥BC，
∴AC垂直平分GH，∴AG=AH，且GH∥FD，而∠GAH=90°，
则∠AGH=45°
∴∠D=∠AGH=45°，
∴在直角三角形△ACD中，∠DAC=45°
∴AC=CD=2
而OC=2，
∴A、O点重合，
故AG=AH=2
∴△AGH的面积=2。