等腰梯形ABCD中，DC∥AB，对角线AC与BD交于点O，AD=DC，AC=BD=AB。（1）若∠ABD=α，求α的度数；（2）求证：OB2=OD·BD

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等腰梯形ABCD中，DC∥AB，对角线AC与BD交于点O，AD=DC，AC=BD=AB。
（1）若∠ABD=α，求α的度数；
（2）求证：OB²=OD·BD

答案

解：（1）∵DC∥AB，
∴∠BDC=∠ABD，
又ABCD是等腰梯形，
∴∠BDC=∠DBC，
∴∠BDC=∠ABD=∠DBC，
又AC=BD=AB，
∴∠ABC=∠ACB=2α，
又AD=BC，AB=AB，AC=BD，
∴△ABD≌△BAC，
∠BAC=∠ABD，
在三角形ABC中有：α+2α+2α=180°，解得：α=36°；
（2）∵∠COB=2α=∠BCO，
∴OB=BC=CD，
在△COD和△BCD中，∠BDC=∠BDC，∠DCA=∠CAB=∠DBC=α，
∴△COD∽△BCD，
∴，
又OB=BC=CD，
∴OB²=OD·BD。