有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°。（1

题型：四川省中考真题难度：来源：

有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30°。
（1）试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；
（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究，他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB₁D₁，AD₁交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；
（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A₂F₂M₂（如图3），F₂M₂与AD交于点P，A₂M₂与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离是多少？

答案

解：（1）BD=MF，BD⊥MF，
延长FM交BD于点N，
由题意得：△BAD≌△MAF，
∴BD=MF，∠ADB=∠AFM，
又∵∠DMN=∠AMF，
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，
∴∠DNM=90°，
∴BD⊥MF；
（2）β的度数为60°或15°’（3）由题意得矩形PNA₂A，
设A₂A=x，则PN=x（如图3），
在Rt△A₂M₂F₂中，
∵F₂M₂=FM=8，
∴A₂M₂=4，A₂F₂=，
∴AF₂=-x，
∵∠PAF₂=90°，∠PF₂A=30°，
∴AP=AF₂·tan30°=4-x，
∴PD=AD-AP=，
∵NP∥AB，
∴∠DNP=∠B，
∵∠D=∠D，
∴△DPN∽△DAB，
∴，
∴，
解得x=，
即，
答：平移的距离是cm。