解:(1)存在点P。假设存在一点P,使点Q与点C重合,如图所示, 设AP的长为x,则BP=10-x, 在Rt△APD中,DP2=AD2+AP2,即DP2=42+x2, 在Rt△PBC中,PC2=BC2+PB2,即DP2=42+(10-x)2, 在Rt△PCD中,CD2=DP2+PC2,即102=42+x2+42+(10-x)2, 解得x=2或8, 故当m=10时,存在点P使得点Q与点C重合,此时AP=2或8; | |
(2)连接AC,设BP=x,则AP=m-x, ∵PQ∥AC, ∴△PBQ∽△ABC ∴,即①, ∵DP⊥PQ, ∴∠APD+∠BPQ=90°, ∵∠APD+∠ADP=90°,∠BPQ+∠PQB=90°, ∴∠APD=∠BQP, ∴△APD∽△BQP, ∴,即②, ①②联立得,BQ=; | |
(3)连接DQ,设AP=x,由(1)知 在Rt△APD中,DP2=AD2+AP2,即DP2=42+x2, 在Rt△PBC中,PC2=BC2+PB2,即DP2=42+(m-x)2。 若△PQD为等腰三角形,则42+x2=42+(m-x)2, 解得, ∵BQ=, ∴CQ=4-, ∴S四边形DPQC=S△DPQ+S△DCQ=。 | |