问题背景: 如图(a),点A、B在直线l的同侧,要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最小,我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点C

问题背景: 如图(a),点A、B在直线l的同侧,要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最小,我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点C

题型:不详难度:来源:
问题背景: 如图(a),点A、B在直线l的同侧,要在直线l上找一点C,使AC与BC的距离之和最小,我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点C,则点C即为所求.

实践运用: 如图(b),已知,⊙O的直径CD为4,点A 在⊙O 上,∠ACD = 30°,B 为弧AD 的中点,P为直径CD上一动点,求:PA+ PB的最小值,并写出解答过程.

知识拓展:如图(c),在菱形ABCD中,AB = 10,∠DAB= 60°,P是对角线AC上一动点,E、F分别是线段AB和BC上的动点,则PE +PF的最小值是     .(直接写出答案)

答案
实践运用:; 知识拓展:.
解析

试题分析:实践运用:找点A或点B关于CD的对称点,再连接其中一点的对称点和另一点,和MN的交点P就是所求作的位置,根据题意先求出∠C′AE,再根据勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值;知识拓展:当点E(E′)关于AC对称点E″与P、F(F′)三点共线且与AD垂直时,易求E″F(F′)的长为.
试题解析:实践运用:如图作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于点P,此时PA+PB最小,且等于A。作直径AC′,连接C′E,
根据垂径定理得弧BD=弧DE.
∵∠ACD=30°,∴∠AOD=60°,∠DOE="30°." ∴∠AOE="90°." ∴∠C′AE=45°.
又AC为圆的直径,∴∠AEC′=90°.
∴∠C′="∠C′AE=45°." ∴C′E=AE=AC′=.
∴AP+BP的最小值是.

知识拓展:如图所示,当点E(E′)关于AC对称点E″与P、F(F′)三点共线且与AD垂直时,PE+PF有最小值.
易证四边形BME″F′为矩形,则BM=E″F′.
在Rt△ABM中,AB=10,∠BAD=60°,∴E″F=BM=AB•sin∠BAD=.

举一反三
如图:在等腰梯形ABCD中,AB=DC=5,AD=4,BC=10.点E在下底边BC上,点F在腰AB上.

①、则梯形的高是     
②、若EF平分等腰梯形ABCD的周长,设BE长为,试用含的代数式表示△BEF的面积;
③、是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分?若存在,求出此BE的长;若不存在,请说明理由;
④、是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1︰2的两部分?若存在,求此时BE的长;若不存在,请说明理由.
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一轮船以每小时20海里的速度沿正东方向航行.上午8时,该船在A处测得某灯塔位于它的北偏东30°的B处(如图),上午9时行到C处,测得灯塔恰好在它的正北方向,此时它与灯塔的距离是        海里(结果保留根号).

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已知在中,,那么的长为(   ).
A.B.C.D.

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在△中,,如果,那么    
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已知线段,延长到点,使,则    

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