如图,点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点,以OB1为一边,构造等边△OB1A1(点O,B1,A1按逆时针方向排列),称为第一次构造;点B2是△OBA

如图,点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点,以OB1为一边,构造等边△OB1A1(点O,B1,A1按逆时针方向排列),称为第一次构造;点B2是△OBA

题型:不详难度:来源:
如图,点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点,以OB1为一边,构造等边△OB1A1(点O,B1,A1按逆时针方向排列),称为第一次构造;点B2是△OBA的两条中线的交点,再以OB2为一边,构造等边△OB2A2(点O,B2,A2按逆时针方向排列),称为第二次构造;以此类推,当第n次构造出的等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合时,构造停止.则构造出的最后一个三角形的面积是    

答案

解析

试题分析:∵点B1是面积为1的等边△OBA的两条中线的交点,∴点B1是△OBA的重心,也是内心。
∴∠BOB1=30°。
∵△OB1A1是等边三角形,∴∠A1OB=60°+30°=90°。
∵每构造一次三角形,OBi 边与OB边的夹角增加30°,
∴还需要(360﹣90)÷30=9,即一共1+9=10次构造后等边△OBnAn的边OAn与等边△OBA的边OB第一次重合。
∴构造出的最后一个三角形为等边△OB10A10
如图,过点B1作B1M⊥OB于点M,


,即
,即
同理,可得,即
…,
,即构造出的最后一个三角形的面积是。 
举一反三
校车安全是近几年社会关注的热点问题,安全隐患主要是超速和超载.某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验,如图,先在笔直的公路l旁选取一点A,在公路l上确定点B、C,使得AC⊥l,∠BAC=60°,再在AC上确定点D,使得∠BDC=75°,测得AD=40米,已知本路段对校车限速是50千米/时,若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒,问这辆车在本路段是否超速?请说明理由(参考数据:=1.41,=1.73)

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如图,图1是某仓库的实物图片,图2是该仓库屋顶(虚线部分)的正面示意图,BE、CF关于AD轴对称,且AD、BE、CF都与EF垂直,AD=3米,在B点测得A点的仰角为30°,在E点测得D点的仰角为20°,EF=6米,求BE的长.
(结果精确到0.1米,参考数据:

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如图,某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为60°,沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为45°.已知BC=90米,且B、C、D在同一条直线上,山坡坡度为(即tan∠PCD=).

(1)求该建筑物的高度(即AB的长).
(2)求此人所在位置点P的铅直高度.(测倾器的高度忽略不计,结果保留根号形式)
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如图,一只猫头鹰蹲在一棵树AC的B(点B在AC上)处,发现一只老鼠躲进短墙DF的另一侧,猫头鹰的视线被短墙遮住,为了寻找这只老鼠,它又飞至树顶C处,已知短墙高DF=4米,短墙底部D与树的底部A的距离为2.7米,猫头鹰从C点观测F点的俯角为53°,老鼠躲藏处M(点M在DE上)距D点3米.
(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)

(1)猫头鹰飞至C处后,能否看到这只老鼠?为什么?
(2)要捕捉到这只老鼠,猫头鹰至少要飞多少米(精确到0.1米)?
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