解:(1)过O作OOE⊥于E,连接OA
在Rt△AEO中,∠EAO=30°
AE=
∴
∴OA=2;
(2)连接CD,则∠ABC+∠ADC=180°
又∠ACB+∠ACP=180°,∠ABC=∠ACB=60°
∴∠ADC=∠ACP=120°
又∵∠CAD=∠PAC
∴△ADC∽△ACP
∴
∴AC2=AD·AP
∴y==(0<x<2);
(3)假设D点在运动的过程中存在这样的位置,使得△DBP成为以DB,DP为腰的等腰三角形,那么DB=DP
∵∠BDC=∠BAC=60°,∠CDP=∠ABC=60°
∴∠BDC=∠CDP
∵CD⊥BP
∴DB是圆的直径,BD=4,DP=4
∵DP=AP﹣AD=y﹣x=﹣x=4
即x2+4x-12=0
∵△=42﹣4 ×(-12)=64>0
∴关于x的方程x2+4x-12=0有两个不相等的实根,说明假设成立
∴x1=2,x2=-6(线段不能为负,舍去)
∴D点在运动的过程中存在这样的位置:即当AD=2时,△BDP成为以BD,PD为腰的等腰三角形。
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