如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,已知AD=AB=3,BC=4,动点P从B点出发,沿线段BC向点C作匀速运动;动点Q从点D 出发,沿线段D

如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,已知AD=AB=3,BC=4,动点P从B点出发,沿线段BC向点C作匀速运动;动点Q从点D 出发,沿线段D

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如图,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,已知AD=AB=3,BC=4,动点P从B点出发,沿线段BC向点C作匀速运动;动点Q从点D 出发,沿线段DA向点A作匀速运动,过Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点N,P、Q两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当Q点运动到A点,P、Q两点同时停止运动,设点Q运动的时间为t秒。
(1)求NC,MC的长(用t的代数式表示);
(2)当t为何值时,四边形PCDQ是平行四边形?当t为何值时,四边形PCDQ是等腰梯形?
(3)探究:t为何值时,△PMC为等腰三角形。
答案
解:(1)在直角梯形ABCD中,
∵QN⊥AD,∠ ABC=90°,
∴四边形ABNQ是矩形
∵QD=t,AD=3,
∴BN=AQ=3-t,
∴NC=BC-BN=4-(3- t)=t+1
∵AB=3,BC=4,∠ABC=90°,
∴AC=5
∵QN⊥AD,∠ ABC=90°,
∴MN∥AB,
∴△MNC∽△ABC
∴ MC=
(2)当QD=CP时,四边形PCDQ构成平行四边形。
∴当t=4-t,即t=2时,四边形PCDQ构成平行四边形。
当QP=CD时,四边形PCDQ构成等腰梯形,过点D作高DE,易证PN=CE=1
∴NE=4-t-2=2-t,
由QD=NE,t=2-t,
∴t=1时,四边形PCDQ构成等腰梯形。
(3)分3种情况:①当PM=MC时,△PMC为等腰三角形
则PN=NC,即3-t-t=t+1,t=
②当CM=PC时,△PMC为等腰三角形,即4-t=
得t=
③当PM=PC时,△PMC为等腰三角形
∵PC=4-t,NC=t+1,
∴PN=2t-3,由△MNC∽△ABC ,得MN=
由勾股定理可得(2+(2t-3)2=(4-t)2
得t=
综上所述:当t=,t=,t=时△PMC为等腰三角形。
举一反三
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E为CD上一点,且DE=EC=BC。
(1)若∠B=90°,求证:∠AEC=3∠DAE;
(2)若谈∠DAE=,AD=2,AE=5,求梯形ABCD的面积。
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如图,一棵大树被台风拦腰刮断,树根A到刮断点P的长度是4m,折断部分PB与地面成40°的夹角,那么原来树的长度是

[     ]

A.4+
B.4+
C.4+4sin40° 米
D.4cos40° 米
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如图,山坡AC与水平面AB成30°的角,沿山坡AC每往上爬100米,则竖直高度上升

[     ]

A.50
B.50
C.50米
D.30米
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在数学活动课上,九年级(1)班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树的高度,设计的测量方案及数据如下:

(1)在大树前的平地上选择一点A,测得由点A看大树顶端C的仰角为30°;
(2)在点A和大树之间选择一点B(A、B、D在同一直线上),测得由点B看大树顶端C的仰角恰好为45°;
(3)量出A、B间的距离为8米.请你根据以上数据求出大树CD的高度。(,结果保留3个有效数字)
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如图,AB是⊙O的直径,C、D是圆上的两点(不与A、B重合),已知BC=1,tan∠ADC=,则AB=(    )。

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