在平面直角坐标系xOy中,边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正

在平面直角坐标系xOy中,边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正

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在平面直角坐标系xOy中,边长为a(a为大于0的常数)的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P,顶点A在x轴正半轴上运动,顶点B在y轴正半轴上运动(x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O),顶点C、D都在第一象限。
(1)当∠BAO=45°时,求点P的坐标;
(2)求证:无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上;
(3)设点P到x轴的距离为h,试确定h的取值范围,并说明理由。
答案
解:(1)当∠BAO=45°时,四边形OAPB为正方形
OA=OB=a·cos45°=a
∴P点坐标为(a,a)

(2)作DE⊥x轴于E,PF ⊥x轴于F,
设A点坐标为(m,0),B点坐标为(0,n)
∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°
∴∠DAE=∠ABO
在△AOB和△DEA中:

∴△AOB≌和△DEA(AAS)
∴AE=0B=n,DE=OA=m,
则D点坐标为(m+n,m)
∵点P为BD的中点,且B点坐标为(0,n)
∴P点坐标为(
∴PF=OF=
∴∠POF=45°,
∴OP平分∠AOB,
即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动,点P都在∠AOB的平分线上;

(3)当A,B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动时,设PF与PA的夹角为α,则0°≤α<45°
h=PF=PA·cosα=a·cosα,
∵0°≤α<45°,
<cosα≤1,
a<h≤a 。
举一反三
如图,一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行,在航线AB的正下方有两个山头C、D,飞机在A处时,测得山头C、D在飞机的前方,俯角分别为60°和30°,飞机飞行了6千米到B处时,往后测得山头C的俯角为30°,而山头D恰好在飞机的正下方,求山头C、D之间的距离。
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如图,放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm,灯罩BC长为30cm,底座厚度为2cm,灯臂与底座构成的∠BAD=60°,使用发现,光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°,此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm?(结果精确到0.1cm,参考数据:≈1.732)
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图甲是一个水桶模型示意图,水桶提手结构的平面图是轴对称图形,当点O到BC(或DE)的距离大于或等于⊙O的半径时(⊙O是桶口所在圆,半径为OA),提手才能从图甲的位置转到图乙的位置,这样的提手才合格.现用金属材料做了一个水桶提手(如图丙A-B-C-D-E-F,C-D是,其余是线段),O是AF的中点,桶口直径AF=34cm,AB=FE=5cm,∠ABC=∠FED=149°,请通过计算判断这个水桶提手是否合格. (参考数据:≈17.72,tan73.6°≈3.40,sin75.4°≈0.97.)
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如图,在斜坡AB上有一棵树BD,由于受台风影响而倾斜,恰好与坡面垂直,在地面上C点处测得树顶部D的仰角为60°,测得坡角∠BAE=30°,AB=6米,AC=4米,求树高BD的长是多少米?(结果保留根号)

题型:辽宁省中考真题难度:| 查看答案
莱芜某大型超市为了缓解停车难的问题,建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图。按规定,停车场坡道口上坡要张贴限高标志,以便告知车辆能否安全驶入。请根据下图求出汽车通过坡道口的限高DF的长。(结果精确到0.1m)(参考数据;sin28°≈0.47,cos28°≈0.88,tan28°≈0.53)
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