在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正

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在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限。
（1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标；
（2）求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；
（3）设点P到x轴的距离为h，试确定h的取值范围，并说明理由。

答案

解：（1）当∠BAO=45°时，四边形OAPB为正方形
OA=OB=a·cos45°=a
∴P点坐标为（a，a）

（2）作DE⊥x轴于E，PF ⊥x轴于F，
设A点坐标为（m，0），B点坐标为（0，n）
∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°
∴∠DAE=∠ABO
在△AOB和△DEA中：

∴△AOB≌和△DEA（AAS）
∴AE=0B=n，DE=OA=m，
则D点坐标为（m+n，m）
∵点P为BD的中点，且B点坐标为（0，n）
∴P点坐标为（，）
∴PF=OF=
∴∠POF=45°，
∴OP平分∠AOB，
即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；

（3）当A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动时，设PF与PA的夹角为α，则0°≤α＜45°
h=PF=PA·cosα=a·cosα，
∵0°≤α＜45°，
∴＜cosα≤1，
∴a＜h≤a 。