如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点P、Q分别在边AB、BC上,且AP=BQ。(1)求证:△BDQ≌△ADP;(2)已知AD=3,AP=2,求cos∠BPQ

如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点P、Q分别在边AB、BC上,且AP=BQ。(1)求证:△BDQ≌△ADP;(2)已知AD=3,AP=2,求cos∠BPQ

题型:海南省中考真题难度:来源:
如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点P、Q分别在边AB、BC上,且AP=BQ。
(1)求证:△BDQ≌△ADP;
(2)已知AD=3,AP=2,求cos∠BPQ的值(结果保留根号)。
答案
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AD=AB,∠ABD=∠CBD=∠ABC,AD∥BC,
∵∠A=60°,
∴△ABD是等边三角形,∠ABC=120°,
∴AD=BD,∠CBD=∠A=60°,
∵AP=BQ,
∴△BDQ≌△ADP(SAS);
(2)过点Q作QE⊥AB,交AB的延长线于E,
∵△BDQ≌△ADP,
∴BQ=AP=2,
∵AD∥BC,
∴∠QBE=60°,
∴QE=QB·sin60°=,BE=QB·cos60°=2×=1,
∵AB=AD=3,
∴PB=AB﹣AP=3﹣2=1,
∴PE=PB+BE=2,
∴在Rt△PQE中,PQ=
∴cos∠BPQ=
举一反三
如图1至图4中,两平行线AB、CD间的距离均为6,点M为AB上一定点,
思考
如图1,圆心为O的半圆形纸片在AB,CD之间(包括AB,CD),其直径MN在AB上,MN=8,点P为半圆上一点,设∠MOP=α。
当α=______度时,点P到CD的距离最小,最小值为______。
探究一
在图1的基础上,以点M为旋转中心,在AB,CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片,直到不能再转动为止,如图2,得到最大旋转角∠BMO=_______度,此时点N到CD的距离是_____。
探究二
将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉,使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时针旋转。
(1)如图3,当α=60°时,求在旋转过程中,点P到CD的最小距离,并请指出旋转角∠BMO的最大值;(2)如图4,在扇形纸片MOP旋转过程中,要保证点P能落在直线CD上,请确定α的取值范围。(参考数椐:sin49°=,cos41°=,tan37°=

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△ABC的顶点都在方格纸的格点上,则sinA=(    )。
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如图,自来水厂A和村庄B在小河l的两侧,现要在A,B间铺设一知输水管道,为了搞好工程预算,需测算出A,B间的距离,一小船在点P处测得A在正北方向,B位于南偏东24.5°方向,前行1200m,到达点Q处,测得A位于北偏东49°方向,B位于南偏西41°方向。
(1)线段BQ与PQ是否相等?请说明理由;
(2)求A,B间的距离。(参考数据cos41°=0.75)
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如图(1),在直角梯形OABC中,BC∥OA,∠OCB=90°,OA=6,AB=5,cos∠OAB=
(1)写出顶点A、B、C的坐标;
(2)如图(2),点P为AB边上的动点(P与A、B不重合),PM⊥OA,PN⊥OC,垂足分别为M,N,设PM=x,四边形OMPN的面积为y;
①求出y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
②是否存在一点P,使得四边形OMPN的面积恰好等于梯形OABC的面积的一半?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,说明理由。
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北京的6月绿树成荫花成海,周末小明约了几个同到户外活动。当他们来到一座小亭子时,一位同学提议测量一下小亭子的高度,大家很高兴,于是设计出了这样一个测量方案:小明在小亭子和一棵小树的正中间点A的位置,观测小亭子顶端B的仰角∠BAC=60°,观测小树尖D的仰角∠DAE=45°,已知小树高DE=2米,请你也参与到这个活动中来,帮他们求出小亭子高BC的长。(结果精确到0.1,
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