如图,在⊙O中,AB为⊙O的直径,AC为弦,OC=4,∠OAC=60°.(1)求∠AOC的度数;(2)在图(1)中,P为直径BA的延长线上一点,且,求证:PC为

如图,在⊙O中,AB为⊙O的直径,AC为弦,OC=4,∠OAC=60°.(1)求∠AOC的度数;(2)在图(1)中,P为直径BA的延长线上一点,且,求证:PC为

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如图,在⊙O中,AB为⊙O的直径,AC为弦,OC=4,∠OAC=60°.

(1)求∠AOC的度数;
(2)在图(1)中,P为直径BA的延长线上一点,且,求证:PC为⊙O的切线.
(3)如图(2),一动点M从A点出发,在⊙O上按逆时针方向运动一周(点M不与点C重合),当时,求动点M所经过的弧长.
答案
(1)60°; (2)证明见解析; (3).
解析

试题分析:(1)由OA、OC都是⊙O的半径知,△AOC是等腰三角形,然后根据等边三角形的判定和性质求得∠AOC =60°;
(2)由求出PA的长,从而得出∠P=∠PCA,∠AOC=∠ACO,根据等边对等角和三角形内角和定理可得∠PCO=900,进而证得结论;
(3)如图,当SMAO=SCAO时,动点M的位置有四种:①作点C关于直径AB的对称点M1,连接AM1,OM1,②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2,连接AM2,OM2,③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3,连接AM3,OM3,④当点M运动到C时,M与C重合,求得每种情况的OM转过的度数,再根据弧长公式求得弧AM的长.
试题解析:(1)在△OAC中,∵OA=OC(⊙O的半径),∠OAC=60°,∴∠OAC=∠OCA(等边对等角).
又∵∠OAC=60°,∴△AOC是等边三角形. ∴∠AOC=60°.
(2)如图,作PA边上的高CE,
∵△AOC是等边三角形, OC=4,∴CE=.
,∴. ∴.∴PA="AC=AO=4." ∴∠P=∠PCA,∠AOC=∠ACO.
∴∠PCO=900.
又∵OC是⊙O的半径,∴PC为⊙O的切线.

(3)如图,
①作点C关于直径AB的对称点M1,连接AM1,OM1
此时SM1AO=SCAO,∠AOM1=60°.∴弧AM1=.
∴当点M运动到M1时,SMAO=SCAO,此时点M经过的弧长为.
②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2,连接AM2,OM2
此时SM2AO=SCAO.∴∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°.∴弧AM2=.
∴当点M运动到M2时,SMAO=SCAO,此时点M经过的弧长为
③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3,连接AM3,OM3
此时SM3AO=SCAO, ∴∠BOM3=60°.∴弧AM3=.
∴当点M运动到M3时,SMAO=SCAO,此时点M经过的弧长为.
点M运动到C时,M与C重合,SMAO=SCAO
此时点M经过的弧长为.

举一反三
已知两圆的半径是方程x2-7x+12=0的两根,圆心距为8,那么这两个圆的位置关系是
A.内切B.外离C.相交D.外切

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有下列四个命题:① 直径是弦;② 经过三个点一定可以作圆;③ 三角形的外心到三角形各边的距离相等;④平分弦的直径垂直于弦.其中正确的有
A.4个B.3个C.2个D.1个

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如图所示,直线CD与线段AB为直径的圆相切于点D,并交BA的延长线于点C,且AB=2,AD=1,P点在切线CD上移动.当∠APB的度数最大时,则∠ABP的度数为
A.90°B.60°C.45°D.30°

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.已知扇形的圆心角为120°,弧长等于一个半径为5cm的圆的周长,则扇形面积为_______.
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已知⊙O半径为2,弦BC的长为,点A为弦BC所对劣弧上任意一点. 则∠BAC的度数为            . 
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