试题分析:(1)由OA、OC都是⊙O的半径知,△AOC是等腰三角形,然后根据等边三角形的判定和性质求得∠AOC =60°; (2)由求出PA的长,从而得出∠P=∠PCA,∠AOC=∠ACO,根据等边对等角和三角形内角和定理可得∠PCO=900,进而证得结论; (3)如图,当S△MAO=S△CAO时,动点M的位置有四种:①作点C关于直径AB的对称点M1,连接AM1,OM1,②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2,连接AM2,OM2,③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3,连接AM3,OM3,④当点M运动到C时,M与C重合,求得每种情况的OM转过的度数,再根据弧长公式求得弧AM的长. 试题解析:(1)在△OAC中,∵OA=OC(⊙O的半径),∠OAC=60°,∴∠OAC=∠OCA(等边对等角). 又∵∠OAC=60°,∴△AOC是等边三角形. ∴∠AOC=60°. (2)如图,作PA边上的高CE, ∵△AOC是等边三角形, OC=4,∴CE=. ∵,∴. ∴.∴PA="AC=AO=4." ∴∠P=∠PCA,∠AOC=∠ACO. ∴∠PCO=900. 又∵OC是⊙O的半径,∴PC为⊙O的切线.
(3)如图, ①作点C关于直径AB的对称点M1,连接AM1,OM1. 此时S△M1AO=S△CAO,∠AOM1=60°.∴弧AM1=. ∴当点M运动到M1时,S△MAO=S△CAO,此时点M经过的弧长为. ②过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2,连接AM2,OM2, 此时S△M2AO=S△CAO.∴∠AOM1=∠M1OM2=∠BOM2=60°.∴弧AM2=. ∴当点M运动到M2时,S△MAO=S△CAO,此时点M经过的弧长为. ③过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3,连接AM3,OM3, 此时S△M3AO=S△CAO, ∴∠BOM3=60°.∴弧AM3=. ∴当点M运动到M3时,S△MAO=S△CAO,此时点M经过的弧长为. 点M运动到C时,M与C重合,S△MAO=S△CAO, 此时点M经过的弧长为.
|