如图,圆内接四边形ABDC,AB是⊙O的直径,OD⊥BC于E.(1)求证:∠BCD=∠CBD;(2)若BE=4,AC=6,求DE的长.

如图,圆内接四边形ABDC,AB是⊙O的直径,OD⊥BC于E.(1)求证:∠BCD=∠CBD;(2)若BE=4,AC=6,求DE的长.

题型:不详难度:来源:
如图,圆内接四边形ABDC,AB是⊙O的直径,OD⊥BC于E.

(1)求证:∠BCD=∠CBD;
(2)若BE=4,AC=6,求DE的长.
答案
(1)详见解析;(2)2.
解析

试题分析:(1)由题目条件OD⊥BC于E,可知OD平分弧BC(垂径定理),即弧BD=弧CD,∠BCD是弧BD所对的圆周角,∠CBD是弧CD所对的圆周角,由圆周角定理,同弧或等弧所对的圆周角相等可以得到∠BCD="∠CBD;(2)" 由题目条件OD⊥BC于E,可知OD平分弦BC(垂径定理),即BE= CE=4,所以BC=8,因为AB是⊙O的直径,所以∠C为直角,在Rt△ACB中,AC=6,BC=8,由勾股定理,AB=10,OB=5,在Rt△OEB中,OB=5,BE=4,由勾股定理,OE=3,DE=OD-OE=2.
试题解析:(1)∵OD⊥BC于E,
∴OD平分弧BC(垂径定理),即弧BD=弧CD,
又∵∠BCD是弧BD所对的圆周角,∠CBD是弧CD所对的圆周角,
由圆周角定理知∠BCD=∠CBD.
(2) ∵OD⊥BC于E,
∴OD平分弦BC(垂径定理),即BE= CE=4,BC=8,
∵AB是⊙O的直径,
∴∠C为直角,
在Rt△ACB中,AC=6,BC=8,由勾股定理,AB=10,OB=5,
在Rt△OEB中,OB=5,BE=4,由勾股定理,OE=3,DE=OD-OE=2.
举一反三
如图,AB是⊙O的直径,若∠BAC=35°,则∠ADC=(       ).
A.35°B.55°C.70°D.110°

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相交两圆的公共弦长为24cm,两圆半径分别为15cm和20cm,则这两个圆的圆心距等于(     ).
A.16cmB.9cm或16cmC.25cmD.7cm或25cm

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如图.AB是⊙O的直径,E是弧BC的中点,OE交BC于点D,OD=3,DE=2,则AD的长为(    ).
A.B.3C.8D.2

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如图,点P为正方形ABCD的边CD上一点,BP的垂直平分线EF分别交BC、AD于E、F两点,GP⊥EP交AD于点G,连接BG交EF于点H,下列结论:①BP=EF;②∠FHG=45°;③以BA为半径⊙B与GP相切;④若G为AD的中点,则DP=2CP.其中正确结论的序号是(    ).

A.①②③④      B.只有①②③   C.只有①②④    D.只有①③④
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如图,点A、B、P在⊙O上,∠APB=500,若M是⊙O上的动点,则等腰△ABM顶角的度数为     

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