如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为BC的中点．（1）求证：AB=BC；（2）求证：四边形BOCD是菱形．

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如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心在AC上，∠A=30°，D为BC的中点．

（1）求证：AB=BC；
（2）求证：四边形BOCD是菱形．

答案

证明：（1）∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB。
∵∠A=30°，∴∠AOB=60°。
∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=∠AOB=30°。
∴∠A=∠OCB。∴AB=BC。
（2）连接OD，

∵∠AOB=60°，∴∠BOC=120°。
∵D为BC的中点，∴。
∴∠BOD=∠COD=60°。
∵OB=OD=OC，∴△BOD与△COD是等边三角形。
∴OB=BD=OC=CD。∴四边形BOCD是菱形。

解析

（1）由AB是⊙O的切线，∠A=30°，易求得∠OC的度数，继而可得∠B=∠OCB=30°，又由等角对等边，证得AB=BC。
（2）首先连接OD，易证得△BOD与△COD是等边三角形，可得OB=BD=OC=CD，即可证得四边形BOCD是菱形。