如图,已知AB是圆O的直径,BC是圆O的弦,弦ED⊥AB于点F,交BC于点G,过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P.(1)求证:PC=PG;(2)点C在劣弧
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如图,已知AB是圆O的直径,BC是圆O的弦,弦ED⊥AB于点F,交BC于点G,过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P.(1)求证:PC=PG;(2)点C在劣弧
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如图,已知AB是圆O的直径,BC是圆O的弦,弦ED⊥AB于点F,交BC于点G,过点C作圆O的切线与ED的延长线交于点P.
(1)求证:PC=PG;
(2)点C在劣弧AD上运动时,其他条件不变,若点G是BC的中点,试探究CG、BF、BO三者之间的数量关系,并写出证明过程;
(3)在满足(2)的条件下,已知圆为O的半径为5,若点O到BC的距离为
时,求弦ED的长.
答案
解:(1)证明:如图,连接OC,
∵PC为⊙O的切线,∴OC⊥PC。∴∠OCG+∠PCG=90°。
∵ED⊥AB,∴∠B+∠BGF=90°。
∵OB=OC,∴∠B=∠OCG。∴∠PCG=∠BGF。
又∵∠BGF=∠PGC,∴∠PGC=∠PCG。
∴PC=PG。
(2)CG、BF、BO三者之间的数量关系为CG
2
=BO•BF。理由如下:
如图,连接OG,
∵点G是BC的中点,∴OG⊥BC,BG=CG。∴∠OGB=90°。
∵∠OBG=∠GBF,∴Rt△BOG∽Rt△BGF。∴BG:BF=BO:BG。
∴BG
2
=BO•BF。∴CG
2
=BO•BF。
(3)如图,连接OE,
由(2)得BG⊥BC,∴OG=
。
在Rt△OBG中,OB=5,∴
。
由(2)得BG
2
=BO•BF,∴
。∴OF=1。
在Rt△OEF中,
。
∵AB⊥ED,∴EF=DF。
∴DE=2EF=
。
解析
试题分析:(1)连接OC,根据切线的性质得OC⊥PC,则∠OCG+∠PCG=90°,由ED⊥AB得∠B+∠BGF=90°,而∠B=∠OCG,所以∠PCG=∠BGF,根据对顶角相等得∠BGF=∠PGC,于是∠PGC=∠PCG,所以PC=PG。
(2)连接OG,由点G是BC的中点,根据垂径定理的推论得OG⊥BC,BG=CG,易证得Rt△BOG∽Rt△BGF,则BG:BF=BO:BG,即BG2=BO•BF,把BG用CG代换得到CG
2
=BO•BF。
(3)连接OE,OG=OG=
,在Rt△OBG中,利用勾股定理计算出BG=2
,再利用BG2=BO•BF可计算出BF,从而得到OF=1,在Rt△OEF中,根据勾股定理计算出EF=2
,由于AB⊥ED,根据垂径定理可得EF=DF,于是有DE=2EF=4
。
举一反三
如图,一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600米,E为弧CD上一点,且OE⊥CD,垂足为F,OF=
米,则这段弯路的长度为
A.200π米
B.100π米
C.400π米
D.300π米
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如图,AB是⊙O的直径,点C是圆上一点,∠BAC=70°,则∠OCB=
°.
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圆锥的侧面积为6πcm
2
,底面圆的半径为2cm,则这个圆锥的母线长为
cm.
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如图,在⊙O中,∠ABC=50°,则∠AOC等于【 】
A.50°
B.80°
C.90°
D.100°
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如图,要制作一个母线长为8cm,底面圆周长是12πcm的圆锥形小漏斗,若不计损耗,则所需纸板的面积是
.
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