试题分析:(1)利用垂径定理、等腰直角三角形的性质求解。 (2)①本问关键是画出符合条件的图形,总共有3种情况,符合条件的点C有3个,如图1,
连接PA, ∵∠AOB=90°,由圆周角定理可知,AB为圆的直径,点A、P、B共线。 ∵圆心P在直线y=x上,∴∠POA=∠POB=45°。 又∵PO=PA=PB,∴△POB与△POA均为等腰直角三角形。 设动直线l与x轴交于点E, 则有E(t,0),P(t,t),B(0,2t)。 ∵OBPC1为平行四边形,∴C1P=OB=2t,C1E=C1P+PE=2t+t=3t, ∴C1(t,3t)。 同理可求得:C3(t,-t)。 ∵OPBC2为平行四边形,且PB=PO,∠OPB=90°, ∴OPBC2为正方形,其对角线OB位于y轴上,则点P与点C2关于x轴对称。 ∴C2(-t,t)。 ∴符合条件的点C有3个,分别为C1(t,3t)、C2(-t,t)、C3(t,-t)。 ②正确作出图形,找到线段CD与AD之间的关联,这就是Rt△DCE∽Rt△ADO,通过计算可知其相似比为1,即两个三角形全等,从而得到CD=AD,△DAC为等腰直角三角形。本问符合条件的点C有2个,因此存在两种情形,分别如答图2和答图3所示。 △DAC是等腰直角三角形。理由如下: 当点C在第一象限时,如图2,连接DA、DC、PA、AC,
由(2)可知,点C的坐标为(t,3t), 由点P坐标为(t,t),点A坐标为(2t,0),点B坐标为(0,2t),可知OA=OB=2t,△OAB是等腰直角三角形。 又PO=PB,进而可得△OPB也是等腰直角三角形, 则∠POB=∠PBO=45°。 ∵∠AOB=90°,∴AB为⊙P的直径。 ∴A、P、B三点共线。 又∵BC∥OP,∴∠CBE=∠POB=45°。 ∴∠ABC=180°-∠CBE-∠PBO=90°。∴AC为⊙Q的直径。∴DA⊥DC。 ∴∠CDE+∠ADO=90°。 过点C作CE⊥y轴于点E,则有∠DCE+∠CDE=90°,∴∠ADO=∠DCE。 ∴Rt△DCE∽Rt△ADO,∴,即,解得OD=t或OD=2t。 依题意,点D与点B不重合,∴舍去OD=2t,只取OD=t。 ∴,即相似比为1,此时两个三角形全等,则DC=AD。 ∴△DAC是等腰直角三角形。 当点C在第二象限时,如图3,同上可证△DAC也是等腰直角三角形。
综上所述,当点C在直线y=x上方时,△DAC必为等腰直角三角形。 |