试题分析:(1)证明:连接OD、BD. ∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°, ∵∠ADB+∠BDC=180°,∴∠BDC=90°, ∵E为BC边的中点,∴BE=DE=CE=BC ∴∠BDE=∠DBE, ∵OB="BD," ∴∠OBD=∠ODB, 又∵∠ABC=∠OBD+∠DBE=90°, ∴∠ODB+∠BDE=90°,即∠ODE=90°, ∴OD⊥DE,∴DE是⊙O的切线.
(2)解:当∠CAB=45°时,四边形AODE是平行四边形. 又∵∠ABC =90°,∴∠CAB=∠C =45°,∴AB=BC. 同理可得BD="CD," ∵∠BDC=90°,E为BC边的中点, ∴DE⊥BC, ∴∠CED=∠ABC =90°, ∴DE∥AB. 又∵DE=BC,OA=AB, ∴DE=OA. ∴四边形AODE是平行四边形. (3)过点E作EF⊥AC交AC于点F,设EF=x,则CE=BE=x,BC=AB=2x, 在Rt△ABE中,AE==x 在Rt△AFE中,sin∠CAE=== 点评:本题考查直线与圆相切,平行四边形,掌握直线与圆相切的概念和性质,并能判断直线与圆相切,掌握平行四边形的判定方法,会判定一个四边形是平行四边形 |