已知⊙与⊙相交于、两点,点在⊙上,为⊙上一点(不与,,重合),直线与⊙交于另一点。(1)如图(1),若是⊙的直径,求证:;(4分)(2)如图(2),若是⊙外一点

已知⊙与⊙相交于、两点,点在⊙上,为⊙上一点(不与,,重合),直线与⊙交于另一点。(1)如图(1),若是⊙的直径,求证:;(4分)(2)如图(2),若是⊙外一点

题型:不详难度:来源:
已知⊙与⊙相交于两点,点在⊙上,为⊙上一点(不与重合),直线与⊙交于另一点

(1)如图(1),若是⊙的直径,求证:;(4分)
(2)如图(2),若是⊙外一点,求证:;(4分)
(3)如图(3),若是⊙内一点,判断(2)中的结论是否成立。(3分)
答案
(1)(2)见解析;(3)成立
解析

试题分析:(1)如图①,连接,根据直径所对的圆周角是直角可得,从而可得为⊙的直径,又的中点,即可证得结论;
(2)如图②,连接,并延长交⊙与点,连,根据圆内接四边形的对角互补,可得,再根据同弧所对的圆周角相等可得,即得,从而证得结论;
(3)如图③,连接,并延长交⊙与点,连,由,可得,即得,从而证得结论;      
(1)如图①,连接
为⊙的直径     

为⊙的直径     

的中点
∴△是以为底边的等腰三角形

(2)如图②,连接,并延长交⊙与点,连
∵四边形内接于⊙   

又∵               


为⊙的直径          


(3)如图③,连接,并延长交⊙与点,连


      
       

.
点评:解答本题的关键是掌握直角所对的圆周角是直角,圆周角的所对的弦是直径,圆内接四边形的对角互补,同弧所对的圆周角相等。
举一反三
如图正方形ABCD的边长为4,点E是AB上的一点,将△BCE沿CE折叠至△FCE,若CF,CE恰好与以正方形ABCD的中心为圆心的⊙O相切,则折痕CE的长为(    )
A.B.C.D.

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现一居民小区的圆柱形自来水管破裂,要及时更换,为此施工人员需知道水管的半径.如图,是水平放置的受损的自来水管管道截面图.(阴影部分为水).

⑴请用直尺、圆规补全水管的圆形截面图;(不写作法,但应保留作图痕迹)
⑵若水面宽AB=24cm,水面最深处为6cm,试求水管的半径.
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在△BDF中,BD=BF,以为直径的与边DF相交于点,过E作BF的垂线,垂足为C,交BD延长线于点A.

(1)求证:AC与⊙O相切.
(2)若,求的半径.
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如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=5,CB=12,AD是△ABC的角平分线,过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E,连接DE.

(1)判断线段AC与AE是否相等,并说明理由;
(2)求过A、C、D三点的圆的直径.
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如图1,在直角坐标系中,点A的坐标为(1,0),以OA为边在第一象限内作正方形OABC,点D是轴正半轴上一动点(OD>1),连结BD,以BD为边在第一象限内作正方形DBFE,设M为正方形DBFE的中心,直线MA交轴于点N.如果定义:只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形.
(1)试找出图1中的一个损矩形;
(2)试说明(1)中找出的损矩形的四个顶点在同一个圆上;
(3)随着点D位置的变化,点N的位置是否会发生变化?若没有发生变化,求出点N的坐标;若发生变化,请说明理由;
(4)在图2中,过点M作MG⊥轴于点G,连结DN,若四边形DMGN为损矩形,求D点坐标.
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